первый интеграл
ϕ
(
x
) =
x
2
1
+
x
3
. Множество решений системы (22)
имеет вид
h
(
ϕ
(
x
))
, где
h
(
∙
)
— произвольная гладкая функция скаляр-
ного аргумента.
Положим
z
1
=
ϕ
(
x
)
. Тогда
z
2
= ˙
z
1
=
x
1
,
z
3
= ˙
z
2
=
x
2
−
x
2
1
.
Поскольку существование регулярного квазиканонического вида уже
установлено, проверять ранг матрицы Якоби замены по части пере-
менных
z
не нужно.
В качестве
η
выберем
x
4
. Получим набор функций
z
1
=
x
2
1
+
x
3
,
z
2
=
x
1
,
z
3
=
x
2
−
x
2
1
,
η
=
x
4
,
(23)
который задает замену переменных в окрестности точки
x
0
.
Обратная к (23) замена имеет следующий вид:
x
1
=
z
2
,
x
2
=
z
3
+
z
2
2
,
x
3
=
z
1
−
z
2
2
,
x
4
=
η.
(24)
Поскольку прямая и обратная замены задаются гладкими в
R
4
функциями, а отображение (24) взаимно-однозначно отображает
R
4
на
R
4
, то это отображение является диффеоморфизмом
R
4
.
Записав систему в переменных (23), получим квазиканонический
вид
˙
z
1
=
z
2
,
˙
z
2
=
z
3
,
˙
z
3
=
u,
˙
η
=
z
3
+
z
2
u.
(25)
Он определен всюду в
R
4
и является всюду регулярным.
Выбор
η
, сделанный ранее, не является единственно возможным.
Чтобы в последнее уравнение системы (25) не входило управление,
требуется выбрать
η
из числа первых интегралов векторного поля
B
.
Таких функционально независимых первых интегралов три:
p
=
x
1
,
q
=
x
3
и
s
=
−
x
1
x
2
+
x
4
.
Выбрав
η
=
−
x
1
x
2
+
x
4
, получим невырожденную замену пере-
менных
z
1
=
x
2
1
+
x
3
,
z
2
=
x
1
,
z
3
=
x
2
−
x
2
1
,
η
=
−
x
1
x
2
+
x
4
.
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
