Найдем инволютивное замыкание распределения
F
2
. Для этого вы-
числим коммутаторы векторных полей, входящих в распределение
span(
B,
ad
A
B, X
1
)
.
Получим
[
B, X
1
] = 0
и
[ad
A
B, X
1
] = 0
. Таким образом, инволютивное
замыкание
F
2
распределения
F
2
порождается векторными полями
B
,
ad
A
B
и
X
1
. Ранг матрицы (19), а следовательно, и размерность
F
2
равны трем.
Вычислим векторное поле
ad
2
A
B
=
∂
∂x
3
.
(20)
Можно видеть, что ранг матрицы
(
B
(
x
)
,
ad
A
B
(
x
)
,
ad
2
A
B
(
x
))
равен
трем и поэтому распределение
F
3
= span(
B,
ad
A
B,
ad
2
A
B
(
x
))
регу-
лярно.
Перейдем к построению инволютивного замыкания распределения
F
3
. Поскольку ранг функциональной матрицы
(
B
(
x
)
,
ad
A
B
(
x
)
, X
1
(
x
)
,
ad
2
A
B
(
x
)) =
0
−
1
0 0
1
−
2
x
1
0 0
0
2
x
1
0 1
x
1
x
2
−
x
2
1
−
1 2 0
(21)
равен четырем, т.е. размерности системы, процесс поиска инволю-
тивного и регулярного распределения, имеющего размерность
r < n
,
завершен и искомым распределением является
F
2
.
Поскольку ранг матрицы (21) равен четырем и в самой точке
x
0
,
то
ad
2
A
B
(
x
0
)
/
2
F
2
(
x
0
)
.
Следовательно, у системы (16) существует регулярный квазиканони-
ческий вид с максимальным индексом приводимости
ˆ
r
= 3
. В данном
случае
ˆ
r
=
r
max
.
Составим систему уравнений для нахождения первых интегралов
распределения
F
2
:
∂ϕ
∂x
2
+
x
1
∂ϕ
∂x
4
= 0
,
−
∂ϕ
∂x
1
−
2
x
1
∂ϕ
∂x
2
+ 2
x
1
∂ϕ
∂x
3
+ (
x
2
−
x
2
1
−
1)
∂ϕ
∂x
4
= 0
,
2
∂ϕ
∂x
4
= 0
.
(22)
Поскольку размерность распределения
F
2
равна трем, то система (22)
[11] имеет
4
−
3 = 1
функционально независимое решение. Найдя его
с использованием системы компьютерной алгебры, получим искомый
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
13
