первые интегралы распределения
F
r
−
1
и среди них выбрать такой пер-
вый интеграл
ϕ
(
x
)
, который удовлетворяет условию
ad
r
−
1
A
ϕ
(
x
0
)
6
= 0
.
Если такую функцию
ϕ
(
x
)
удалось найти, далее действуем согласно
приведенному выше алгоритму.
Замечание 5.
Неоднозначность регулярного квазиканонического
вида при фиксированном индексе приводимости
r
≤
ˆ
r
связана в том
числе с тем, что могут существовать несколько первых интегралов
распределения
F
r
−
1
, для которых
ad
r
−
1
A
ϕ
(
x
0
)
6
= 0
.
Пример.
Рассмотрим динамическую систему
˙
x
1
=
x
2
−
x
2
1
,
˙
x
2
= 2
x
1
x
2
−
2
x
3
1
+
u,
˙
x
3
=
x
1
−
2
x
1
x
2
+ 2
x
3
1
,
˙
x
4
=
x
2
−
x
2
1
+
x
1
u
(16)
в окрестности точки
x
0
= (1
,
0
,
0
,
0)
.
Векторное поле
B
имеет вид
∂
∂x
2
+
x
1
∂
∂x
4
и не обращается в нуль в точке
x
0
. Следовательно, распределение
F
1
регулярно и инволютивно в окрестности точки
x
0
.
Перейдем к анализу распределения
F
2
= span(
B,
ad
A
B
)
. Найдем
векторное поле
ad
A
B
=
−
∂
∂x
1
−
2
x
1
∂
∂x
2
2
x
1
∂
∂x
3
+ (
x
2
−
x
2
1
−
1)
∂
∂x
4
.
(17)
Поскольку ранг матрицы
(
B
(
x
)
,
ad
A
B
(
x
)) =
0
−
1
1
−
2
x
1
0
2
x
1
x
1
x
2
−
x
2
1
−
1
(18)
в окрестности точки
x
0
равен двум, распределение
F
2
регулярно.
Для анализа инволютивности распределения
F
2
вычислим вектор-
ное поле
X
1
= [
B,
ad
A
B
] = 2
∂
∂x
4
и сформируем соответствующую
функциональную матрицу
(
B
(
x
)
,
ad
A
B
(
x
)
, X
1
(
x
)) =
0
−
1
0
1
−
2
x
1
0
0
2
x
1
0
x
1
x
2
−
x
2
1
−
1 2
(19)
Поскольку ранг матрицы (19) равен трем, распределение
F
2
=
= span(
B,
ad
A
B
)
не является инволютивным.
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
