k
=
n
−
m
функционально независимых в окрестности точки
x
0
пер-
вых интегралов [3, 11].
Среди них существует интеграл
ϕ
(
x
)
, такой что
ad
r
−
1
A
Bϕ
(
x
0
)
6
= 0
.
Действительно, если для всех первых интегралов распределения
F
r
−
1
имеет место
ad
r
−
1
A
Bϕ
(
x
0
) = 0
, то в точке
x
0
ad
r
−
1
A
B
(
x
0
)
2
F
r
−
1
(
x
0
)
,
что противоречит последнему условию теоремы.
Указанная функция
ϕ
(
x
)
является решением системы уравне-
ний (7). Поскольку при этом
γ
(
x
0
) = (
−
1)
r
−
1
ad
r
−
1
A
Bϕ
(
x
0
) =
BA
r
−
1
ϕ
(
x
0
)
6
= 0
,
то в силу теоремы 4 в некоторой окрестности точки
x
0
система (1) пре-
образуется к квазиканоническому виду с индексом приводимости
r
.
Следствие 3.
Пусть
ˆ
r < n
— максимальное число, для которо-
го в окрестности точки
x
0
выполнены условия теоремы 5. Тогда
ˆ
r
—
максимальный индекс приводимости системы (1) к регулярному ква-
зиканоническому виду (2).
Алгоритм преобразования к регулярному квазиканоническому
виду.
Приведем основные этапы исследования проблемы преобразо-
вания системы (1) в окрестности заданной точки
x
0
к регулярному
квазиканоническому виду (2) с использованием системы компьютер-
ной алгебры.
Проверяем условие
B
(
x
0
)
6
= 0
. Если это условие выполнено, то
аффинную систему (1), как отмечалось выше, можно рассматривать
как систему, записанную в регулярном квазиканоническом виде с ин-
дексом приводимости
r
= 1
. Если условие не выполнено, прекращаем
поиск.
Переходим к поиску индекса приводимости
r >
1
. Если указанное
неравенство выполнено, то распределение
F
1
= span(
B
)
регулярно в
некоторой окрестности точки
x
0
и инволютивно, так как
[
B, B
] = 0
.
Далее для
k
= 2
,
3
, . . .
последовательно вычисляем векторное поле
ad
k
−
1
A
B
, проверяем регулярность распределения
F
k
= span(
B,
ad
A
B, . . . ,
ad
k
−
1
A
B
)
в окрестности точки
x
0
, определяем размерность его инволютивного
замыкания
F
k
и регулярность. Процесс останавливается, как только
либо распределение
F
k
не будет регулярным в окрестности точки
x
0
,
либо инволютивное замыкание
F
k
не будет регулярным, либо размер-
ность
F
k
станет равной
n
— размерности системы (1).
Пусть остановка произошла при
k
=
k
max
. Возвращаемся к анализу
распределения
F
k
max
−
1
. Это распределение инволютивно и регулярно.
Проверяем условие
ad
k
maх
−
1
A
B
(
x
0
)
/
2
F
k
max
−
1
. Если это условие вы-
полнено, то найден максимальный индекс
ˆ
r
=
k
max
приводимости к
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
