Если система в некоторой окрестности точки
x
0
преобразуется к
квазиканоническому виду (2), то согласно теореме 1 в этой окрест-
ности определена функция
ϕ
(
x
)
, удовлетворяющая системе уравне-
ний (7), причем соотношения (9) задают в этой окрестности невыро-
жденную замену по части переменных
z
. Следовательно, ранг матри-
цы Якоби отображения (9) в точке
x
0
был равен
r
.
Пусть в некоторой окрестности точки
x
0
существует гладкая функ-
ция
ϕ
(
x
)
, удовлетворяющая в этой окрестности системе уравнений (7),
а ранг матрицы Якоби отображения (9) в точке
x
0
был равен
r
. Допол-
ним множество функций (9)
n
−
r
гладкими в окрестности точки
x
0
функциями
η
j
=
η
j
(
x
)
,
j
= 1
, n
−
r
, так, чтобы ранг матрицы Якоби
построенного отображения
(
z, η
) = Ψ(
x
)
в точке
x
0
был равен
n
. Та-
кие функции всегда существуют. Тогда в некоторой окрестности точки
x
0
отображение
(
z, η
) = Ψ(
x
)
будет задавать гладкую невырожденную
замену переменных и в силу теоремы 1 в некоторой окрестности точки
x
0
в этих переменных система (1) имеет квазиканонический вид (2).
Следствие 2.
Если
B
(
x
0
)
6
= 0
, выполнены условия теоремы 2 и
в окрестности точки
x
0
гладкие функции
η
j
=
η
j
(
x
)
,
j
= 1
, n
−
r
,
выбраны так, что выполнены условия (5) и ранг матрицы Якоби по-
строенного отображения
(
z, η
) = Ψ(
x
)
в точке
x
0
равен
n
, то аффинная
система (1) в окрестности этой точки преобразуется к специальному
квазиканоническому виду (6).
Обозначим через
U
k
(
x
)
столбец координат векторного поля
(
−
1)
k
ad
k
A
B
. Матрицу
U
(
x
) = (
U
0
(
x
)
, . . . , U
n
−
1
(
x
))
называют [1] ма-
трицей управляемости системы (1).
Пусть [5, 6]
γ
(
x
) =
BA
r
−
1
ϕ
(
x
) = (
−
1)
r
−
1
ad
r
−
1
A
Bϕ
(
x
)
,
(10)
где функция
ϕ
(
x
)
есть решение системы (7). Поскольку
˙
z
r
=
A
r
ϕ
(
x
)
|
x
=
ϕ
−
1
(
z,η
)
+
uBA
r
−
1
ϕ
(
x
)
|
x
=
ϕ
−
1
(
z,η
)
,
(11)
то функция
γ
(
x
)
есть коэффициент при управлении в системе квази-
канонического вида, записанный в переменных
x
.
Теорема 3.
[9]
Пусть
U
r
(
x
)
— матрица, состоящая из первых
r
столбцов матрицы управляемости
U
(
x
)
, ϕ
0
(
x
)
— матрица Якоби
замены по части переменных
z
i
=
A
i
ϕ
(
x
)
, i
= 1
, r
, где
ϕ
(
x
)
— реше-
ние системы
(7)
линейных однородных дифференциальных уравнений
первого порядка. Тогда
|
det(
ϕ
0
(
x
)
U
r
(
x
))
|
=
|
γ
(
x
)
|
r
.
(12)
Следующая теорема содержит локальные условия существования
преобразования аффинной системы (1) к квазиканоническому виду (2),
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
7
