регулярному квазиканоническому виду. Если это условие не выполне-
но, переходим к рассмотрению распределения
F
k
max
−
2
.
Проверка будет продолжаться до тех пор, пока не найдется та-
кой первый индекс
k
max
−
1
≥
m
≥
2
, что будет выполнено условие
ad
m
−
1
A
B
(
x
0
)
/
2
F
m
−
1
. Тогда
ˆ
r
=
m
. Если же и при
m
= 2
указанное
неравенство не выполняется, то система приводится к регулярному
квазиканоническому виду с
ˆ
r
= 1
.
Проверка регулярности или инволютивности заданного распреде-
ления сводится к исследованию ранга соответствующей ему функцио-
нальной матрицы, по столбцам которой записаны координаты вектор-
ных полей, порождающих это распределение, и может выполняться с
использованием алгоритма, предложенного в [2].
Решая методами компьютерной алгебры соответствующую систе-
му уравнений в частных производных, для найденного индекса приво-
димости
ˆ
r
находим такой первый интеграл
ϕ
(
x
)
распределения
F
ˆ
r
−
1
,
который удовлетворяет условию
ad
ˆ
r
−
1
A
ϕ
(
x
0
)
6
= 0
.
Если в аналитическом виде его получить не удается, то аналити-
чески преобразовать систему (1) к регулярному квазиканоническому
виду с указанным индексом невозможно.
Пусть удалось найти
ϕ
(
x
)
в аналитическом виде. Тогда для выбран-
ной функции
ϕ
(
x
)
с использованием системы компьютерной алгебры
вычисляем функции
A
i
−
1
ϕ
(
x
)
,
i
= 1
,
ˆ
r
.
В режиме диалога задаем функции
η
i
=
η
i
(
x
)
,
i
= 1
, n
−
ˆ
r
, такие
что ранг матрицы Якоби множества функций
z
i
=
A
i
−
1
ϕ
(
x
)
,
i
= 1
,
ˆ
r
,
η
j
=
η
j
(
x
)
,
j
= 1
, n
−
ˆ
r
, равен
n
в точке
x
0
.
Для получения квазиканонического вида (2), в котором
p
(
z, η
)
≡
0
,
функции
η
i
следует выбрать из числа первых интегралов векторного
поля
B
, но это осуществимо не всегда.
Для сформированной замены переменных
(
z, η
) = Ψ(
x
)
ищем
обратную замену
x
= Ψ
−
1
(
z, η
)
(если она выражается аналитически)
с использованием системы компьютерной алгебры.
В режиме диалога определяем (если это возможно) область, в кото-
рой построенная замена переменных
(
z, η
) = Ψ(
x
)
является диффео-
морфизмом, на основе анализа гладкости прямого и обратного отобра-
жений и других их свойств.
Оценкой сверху для искомой области может быть область, в кото-
рой не вырождена матрица Якоби отображения
(
z, η
) = Ψ(
x
)
.
Если прямая и обратная замены получены в аналитическом виде,
то с использованием системы компьютерной алгебры получаем квази-
канонический вид в переменных
z, η
.
Замечание 4.
Для преобразования системы (1) к регулярному ква-
зиканоническому виду с индексом приводимости
r <
ˆ
r
следует найти
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
11
