некоторой окрестности точки
x
0
квазиканонический вид будет регу-
лярным.
Замечание 1
. Если для системы (1) в окрестности точки
x
0
суще-
ствует регулярный квазиканонический вид, то
B
(
x
0
)
6
= 0
.
Замечание 2
. Если условия теоремы (4) выполнены при
r
=
n
, то
аффинная система (1) преобразуется в некоторой окрестности точки
x
0
к регулярному каноническому виду [1, 3].
Замечание 3.
Любая аффинная система может рассматриваться как
система, записанная в квазиканоническом виде с индексом приводи-
мости
r
= 1
, если в качестве координатной функции
z
1
выбрать любую
координатную функцию
x
i
, такую что соответствующее ей уравнение
аффинной системы (1) содержит в правой части управление. При этом
такой квазиканонический вид не обязательно будет регулярным в фик-
сированной точке
x
0
.
Индекс приводимости не может быть больше
n
, поэтому для ка-
ждой аффинной системы (1) в окрестности точки
x
0
существует мак-
симальный индекс приводимости к квазиканоническому виду
r
max
,
1
≤
r
max
≤
n
, и для преобразования системы к квазиканоническому
виду можно выбрать любое
r
,
1
≤
r
≤
r
max
.
При фиксированном
r
для системы (1) эквивалентная ей систе-
ма квазиканонического вида (2) не единственна. По крайней мере,
имеется некоторая свобода выбора замены по части переменных
x
r
+1
, . . . , x
n
.
Если
B
(
x
0
)
6
= 0
, то в окрестности точки
x
0
для системы (1) суще-
ствует эквивалентная система регулярного квазиканонического вида с
индексом приводимости
r
= 1
. Перейдем к определению максималь-
ного значения индекса
ˆ
r
приводимости системы (1) к регулярному
квазиканоническому виду,
1
≤
ˆ
r
≤
r
max
.
Локальные условия существования регулярного квазиканоническо-
го вида задает следующая теорема.
Теорема 5.
Пусть в некоторой окрестности точки
x
0
размер-
ность инволютивного замыкания
F
r
−
1
распределения
F
r
−
1
= span(
B,
ad
A
B, . . . ,
ad
r
−
2
A
B
)
,
r
≥
2
, постоянна и равна
m, r
−
1
≤
m < n,
и для векторного поля
ad
r
−
1
A
B
имеет место
ad
r
−
1
A
B
(
x
0
)
/
2
F
r
−
1
(
x
0
)
.
Тогда в некоторой окрестности точки
x
0
аффинная система
(1)
преобразуется к регулярному квазиканоническому виду
(2)
с индексом
приводимости
r
.
Поскольку инволютивное замыкание
F
r
−
1
распределения
F
r
−
1
по
условию теоремы регулярно (
dim
F
r
−
1
=
m
) и инволютивно в не-
которой окрестности точки
x
0
, то у этого распределения существует
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
9
