с помощью переменных состояния. В первом случае выход (
y
2
R
p
)
непосредственно связывается с входом (
u
2
R
m
) дифференциальными
уравнениями вида
y
(
k
i
)
i
=
=
φ
i
(
t, y
1
, . . . , y
(
k
1
−
1)
1
, y
2
, . . . , y
(
k
p
−
1)
p
, u
1
, . . . , u
(
s
1
)
1
, u
2
, . . . , u
(
s
m
)
m
)
,
i
= 1
, p.
(1)
Уравнения системы (1) называют
уравнениями отображения вход-
выход
.
Во втором случае кроме переменных входа и выхода используют-
ся дополнительные переменные
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
, которые называются
переменными состояния
. Вход
u
изменяет состояние
x
системы в со-
ответствии с системой
˙
x
=
f
(
t, x, u,
˙
u, . . . , u
(
r
0
)
)
, x
2
R
n
, u
2
R
m
,
(2)
которую называют
системой уравнений состояния
. При этом выход
явно выражается через переменные состояния, управления (входа) и
их производные до некоторого порядка
˜
r
:
y
=
h
(
t, x, u,
˙
u, . . . , u
(˜
r
)
)
, y
2
R
p
.
(3)
Выражения (3) определяют замену переменных, позволяющую пе-
рейти от описания системой уравнений (2), (3) к описанию системы
уравнений (1).
Задача реализации отображений
— задача перехода от
описания системой уравнений (1) к эквивалентному описанию систе-
мой уравнений (2), (3), т.е. поиск системы уравнений (2), (3) и таких
функций
x
=
X
(
t, y,
˙
y, . . . , y
(
k
0
−
1)
, u,
˙
u, . . . , u
(
s
1
)
)
,
(4)
что при подстановке (3) в (1) с учетом (2) и при подстановке (4) в
систему уравнений (2), (3) при условии (1) получаются верные тожде-
ства.
Задача перехода от одного описания к другому рассмотрена в ра-
ботах [1–3]. Для частного случая системы уравнений состояния вида
˙
x
=
f
(
t, x, u
)
, x
2
R
n
, u
2
R
m
(5)
условия существования реализации изложены в работах [4, 5]. Одна-
ко такие реализации имеют место далеко не всегда. Далее это будет
показано на конкретном примере. В связи с этим возникает вопрос о
существовании реализаций общего вида, в которых производные упра-
вления могут присутствовать, однако их порядок должен быть ниже,
чем в исходной системе.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3
