В последнем выражении
du
q
и их производные входят в систему при
s
q
−
r
q
>
0
. Следовательно, модули
H
ˉ
r
j
, j
≤
R
+ 1
, имеют базисы из
точных 1-форм.
Достаточность.
Пусть
{
dξ
1
, . . . , dξ
˜
n
}
— базис модуля
H
ˉ
r
R
+1
. Най-
дем размерность модуля
H
ˉ
r
R
+1
.
Согласно (21), размерность модуля
H
ˉ
r
1
равна
p
X
i
=1
k
i
+
m
X
i
=1
(
s
i
−
r
i
) +
mR
+ 1
.
Из леммы (1) следует, что размерность модуля
H
ˉ
r
R
+1
меньше размер-
ности модуля
H
ˉ
r
1
на
mR
. Тогда размерность модуля
H
ˉ
r
R
+1
составляет
˜
n
=
p
X
i
=1
k
i
+
m
X
i
=1
(
s
i
−
r
i
) + 1
.
Следует отметить, что точные 1-формы
dt
и
du
(
j
)
q
,
q
= 1
, m
,
j
= 0
, s
q
−
r
q
−
1
,
s
q
−
r
q
>
0
, принадлежат модулю
H
ˉ
r
R
+1
. Их число
равно
m
X
i
=1
(
s
i
−
r
i
) + 1
. Указанный набор дополним такими 1-формами
dξ
j
, число которых составляет
n
=
p
X
i
=1
k
i
, чтобы получилась линейно
независимая система. Исходя из соображений размерности полученная
система будет базисом модуля
H
ˉ
r
R
+1
. Обозначив выбранные величины
ξ
j
через
x
1
, . . . , x
n
, находим базис модуля
H
ˉ
r
R
+1
:
dt, dx
1
, . . . , dx
n
, du
1
, . . . , du
(
s
1
−
r
1
−
1)
1
, du
2
, . . . , du
(
s
m
−
r
m
−
1)
m
,
(36)
где 1-форма
du
j
и ее производные входят в систему при
s
j
−
r
j
>
0
.
Поскольку
d
˙
x
i
2 H
ˉ
r
R
,
i
= 1
, n,
а лемма (1), в частности, утверждает,
что
H
ˉ
r
R
=
H
ˉ
r
R
+1
span
F
{
du
(
s
1
−
r
1
)
1
, . . . , du
(
s
m
−
r
m
)
m
}
,
то
d
˙
x
i
=
a
0
dt
+
n
X
i
=1
a
i
dx
i
+
m
X
q
=1
s
q
−
r
q
X
j
q
=0
b
q
du
(
j
q
)
q
.
Поэтому
˙
x
i
, i
= 1
, n
, являются функциями переменных
t, x
1
, . . .
. . . x
n
, u
1
, . . . , u
(
s
m
−
r
m
)
m
. Следовательно, в переменных
x
i
,
i
= 1
, n
,
получена реализация вида (6), (3).
I
4. Алгоритмы.
На основе теорем 2 и 3 можно предложить следу-
ющие алгоритмы построения реализации вида (6), (3).
Алгоритм 1
1. Выбор набора чисел
r
i
,
i
= 1
, m
, и нахождение
R
= max
i
=1
,m
r
i
.
2. Выполнение замены переменных (8), (9) и получение системы вида
(13), (11).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3
11
