В настоящей статье решается задача поиска реализаций общего
вида: требуется найти замену (4), позволяющую получить реализацию
˙
x
=
f
(
t, x, u
1
, . . . , u
(
s
1
−
r
1
)
1
, u
2
, . . . , u
(
s
m
−
r
m
)
m
)
,
0
≤
r
i
≤
s
i
.
(6)
В частном случае при
r
i
=
s
i
система (6) примет вид (5). Для этого
в работе [4] введены следующие обозначения.
Пусть
F
— кольцо гладких функций, каждая из которых зависит от
величины
t
, переменных
y
,
u
и некоторого конечного (но произвольно-
го) числа их производных. Рассмотрим модуль 1-форм над кольцом
F
:
H
1
= span
F
{
dt, dy
1
, d
˙
y
1
, . . . , dy
(
k
1
−
1)
1
, dy
2
, d
˙
y
2
, . . .
. . . , dy
(
k
p
−
1)
p
, du
1
, . . . , du
(
s
−
1)
1
, du
2
, . . . , du
(
s
−
1)
m
}
.
Для 1-формы
ω
2 H
1
обозначим через
˙
ω
производную в силу систе-
мы (1). По индукции определим
H
k
+1
=
{
ω
2 H
k
: ˙
ω
2 H
k
}
,
k
≥
1
.
(7)
Можно показать, что
H
k
есть модуль над
F
и
dt
2 H
k
для всех
k
≥
1
[4].
Теорема 1.
Реализация вида
(5)
,
(3)
локально существует для
уравнений
(1)
отображения вход-выход тогда и только тогда
,
когда
модуль
H
s
+1
имеет базис из точных
1
-форм
[4].
Теорему 1 можно обобщить на случай произвольных переменных
0
≤
r
i
≤
s
i
,
i
= 1
, m
. Для этого предложим два способа. Первый
способ основан на преобразовании общей задачи к случаю, рассмо-
тренному в теореме 1, с помощью введения новых выходов. Второй
способ — обобщение доказательства теоремы 1 путем построения ана-
логов модулей
H
i
.
В работе [6] также решалась задача построения реализаций об-
щего вида методами теории векторных полей. В этой статье будем
использовать двойственный язык дифференциальных форм, так как в
некоторых случаях этот подход оказывается более удобным. Алгорит-
мы, разработанные авторами работы [7], основаны именно на таком
подходе и обобщаются на рассмотренный в статье случай.
2. Построение реализаций введением новых выходов.
Введем
новые выходы
z
i
и управления
v
i
согласно следующему правилу:
v
i
=
u
(
s
i
−
r
i
)
i
,
(8)
при
s
i
−
r
i
>
0
полагаем
z
i
=
u
i
,
(9)
при
s
i
−
r
i
= 0
выход
z
i
не вводится.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3
5
