c
s
q
−
r
q
+
R
−
l
q
= ˜
c
s
q
−
r
q
+
R
−
l
+1
q
=
c
s
q
−
r
q
+
R
−
l
+1
q
( ˙
ω
l
) =
=
c
s
q
−
r
q
+
R
−
l
+1
q
d
dt
ω
1
−
m
X
q
=1
s
q
−
r
q
+
R
−
1
X
k
q
=
s
q
−
r
q
+
R
−
l
+1
c
k
q
q
du
(
k
q
)
q
.
(34)
Разложение (31) единственно, так как
du
(
s
q
−
r
q
+
R
−
l
)
q
/
2 H
ˉ
r
l
+1
.
I
Теорема 3.
Реализация вида
(6)
,
(3)
локально существует для урав-
нений
(1)
отображения вход-выход тогда и только тогда, когда мо-
дуль
H
ˉ
r
R
+1
имеет базис из точных
1
-форм.
J
Необходимость.
Рассмотрим модуль
H
= span
F
{
dt, dx, du
1
, . . . , du
(
s
1
−
r
1
+
R
−
1)
1
, du
2
, . . . , du
(
s
m
−
r
m
+
R
−
1)
m
}
и докажем, что
H
=
H
ˉ
r
1
. Переменные
x
1
, . . . , x
n
могут зависеть только
от переменных
y
1
, . . . , y
(
k
p
−
1)
p
, u
1
, . . . , u
(
s
1
−
1)
1
, u
2
, . . . , u
(
s
m
−
1)
m
,
(35)
следовательно, их дифференциалы
dx
1
, . . . , dx
n
принадлежат моду-
лю
H
ˉ
r
1
. Кроме того, по определению модулю
H
ˉ
r
1
принадлежат диф-
ференциалы
dt
,
du
(
k
q
)
q
, q
= 1
, m
,
k
q
= 0
, s
q
−
r
q
+
R
−
1
. Поэтому
H H
ˉ
r
1
. Докажем включение
H H
ˉ
r
1
. Рассмотрим переменные
y
1
,
˙
y
1
, . . . , y
(
k
1
−
1)
1
, y
2
,
˙
y
2
, . . . , y
(
k
p
−
1)
p
. Поскольку реализация вида (6), (3)
существует, эти переменные представляют собой функции перемен-
ных
t
,
x
j
,
u
(
k
)
q
,
j
= 1
, n
,
q
= 1
, m
,
k
= 0
, k
0
, где
k
0
— максимальный
порядок производной функции
u
, от которой зависят указанные пере-
менные. Пусть
y
(
l
)
i
зависит от
u
(
k
0
)
q
. Тогда, во-первых,
l
=
k
i
−
1
, иначе
y
(
l
+1)
i
зависит от
u
(
k
0
+1)
q
.
Во-вторых,
k
0
≤
s
q
−
1
, иначе при подстанов-
ке указанных выражений в
i
-е уравнение (1) тождество не получается.
Это связано с тем, что левая часть (
y
(
k
i
)
i
) зависит от производных
функции
u
более высокого порядка, чем правая часть этого уравне-
ния. Таким образом, дифференциал любой переменной набора (35)
принадлежит
H
, отсюда
H H
ˉ
r
1
.
Системы (1) и (6) эквивалентны, поэтому производная в силу си-
стемы (1) совпадает с производной в силу системы (6). С учетом этого
и равенства
H
=
H
ˉ
r
1
запишем
H
ˉ
r
2
= span
F
{
dt, dx, du
1
, . . ., du
(
s
1
−
r
1
+
R
−
2)
1
, du
2
, . . . , du
(
s
m
−
r
m
+
R
−
2)
m
}
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H
ˉ
r
R
= span
F
{
dt, dx, du
1
, . . . , du
(
s
1
−
r
1
)
1
, du
2
, . . . , du
(
s
m
−
r
m
)
m
}
;
H
ˉ
r
R
+1
= span
F
{
dt, dx, du
1
, . . . , du
(
s
1
−
r
1
−
1)
1
, du
2
, . . . , du
(
s
m
−
r
m
−
1)
m
}
.
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3
