Построение реализаций отображений вход-выход с использованием дифференциальных форм - page 7

= ˜ω1 +
m Xq =1
bsq −rq +R −1
q +
p Xα=1
akα−1
α
∂φα
∂u( sq −rq +R)
q ! du(sq −rq +R)
q , (28)
где ˜ ω1 2 H ˉ r
1 .
Из (28) и (27) следует, что выражение для коэффициентов csq −rq +R−1
q
имеет вид
csq −rq +R −1
q = bsq −rq +R −1
q +
p Xα=1
akα−1
α
∂φα
∂u( sq −rq +R)
q
, q = 1 , m. (29)
Разложение (27) единственно, так как du(sq −rq +R −1)
q / 2 Hˉr
2. Утвер-
ждение леммы для j = 1 доказано.
Пусть утверждение леммы верно для j = l − 1, тогда
ω1 = ωl +
m Xq=1
sq −rq +R −1
X
kq =sq −rq +R −l +1
ckq
q du(kq )
q , (30)
где ωl 2 H ˉr
l .
Рассмотрим случай j = l. Разложение ωl из (30) будем искать в
виде
ωl = ωl +1 +
m Xq=1
csq −rq +R−l
q du(sq −rq +R −l )
q , (31)
где ωl +1 2 H ˉr
l+1. Продифференцируем (31) в силу (1) и определим
˙ ωl = ˙ω l+1 +
m Xq=1
˙ csq −rq +R−l
q du(sq −rq +R −l )
q + csq −rq +R −l
q du(sq −rq +R−l+1)
q .
(32)
Имеем
˙ ωl +1 +
m Xq=1
˙ csq −rq +R −l
q du(sq −rq +R−l)
q 2 H ˉr
l ,
m Xq=1
csq −rq +R−l
q du(sq −rq +R −l +1)
q / 2 H ˉ r
l .
Поскольку ˙ ωl 2 Hˉr
l −1 , запишем разложение ˙ ω l согласно предположе-
нию индукции (30)
˙ ω l = ˜ω l +
m Xq =1
˜csq −rq +R−l+1
q du( sq −rq +R−l +1)
q , (33)
где ˜ ωl 2 H ˉr
l .
Учитывая слагаемые при du(sq −rq +R −l +1)
q для q = 1, m в (32) и (33),
получаем
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3 9