Система (15), (16) является реализацией вида (5), (3) для отображе-
ния вход-выход (13), (11), следовательно, согласно теореме 1, модуль
H
R
+1
имеет базис из точных 1-форм.
Достаточность.
Выполнение условий теоремы 1 для системы (13),
(14) означает, что модуль
H
R
+1
имеет базис из точных 1-форм. Дока-
жем, что в модуле
H
R
+1
будут содержаться 1-формы
dz
(
j
i
)
i
,
s
i
−
r
i
>
0
,
i
= 1
, m
,
j
i
= 0
, s
i
−
r
i
−
1
.
Действительно, некоторая 1-форма
ω
принадлежит модулю
H
R
+1
тогда и только тогда, когда
˙
ω
2 H
R
. Продолжая эту цепочку до
H
1
,
получаем
ω
2 H
R
+1
,
ω
(
R
)
2 H
1
.
(17)
Рассмотрим
R
-ю производную 1-формы
dz
(
j
i
)
i
в силу системы (13),
(11). Если
0
≤
j
i
≤
s
i
−
r
i
−
1
−
R
, то
j
i
+
R
≤
s
i
−
r
i
−
1
. Поэтому
dz
(
j
i
+
R
)
i
2 H
1
, следовательно,
dz
(
j
i
)
i
2 H
R
+1
. Пусть
s
i
−
r
i
−
R
≤
j
i
≤
≤
s
i
−
r
i
−
1
, тогда
dz
(
j
i
+
R
)
i
=
dv
(
j
i
+
R
−
(
s
i
−
r
i
))
i
=
dv
(
q
)
i
,
(18)
где
q
=
j
i
+
R
−
(
s
i
−
r
i
)
,
i
2
1
, m
;
q
2
0
, R
−
1
.
Поскольку
q < R
, все 1-формы вида (18) принадлежат модулю
H
1
,
а, согласно (17),
dz
(
j
i
)
i
2 H
R
+1
,
i
= 1
, m
,
j
i
= 0
, s
i
−
r
i
−
1
. Поэтому,
учитывая размерность модуля
H
R
+1
, в качестве базиса
H
R
+1
можно
выбрать набор 1-форм следующего вида:
dt, dx
1
, . . . , dx
n
, dz
(
j
i
)
i
, s
i
−
r
i
>
0
, i
= 1
, m, j
i
= 0
, s
i
−
r
i
−
1
.
(19)
Формируя на основе интегралов точных 1-форм (19) замену пере-
менных, получаем, что уравнения (11) можно оставить без изменений,
а система (13) согласно теореме 1 примет вид (14). Переходя обратно
к переменным
x
,
u
, записываем систему (6). Выражая переменные
y
i
через
x
q
,
q
= 1
, n
, и
u
(
l
k
)
k
,
k
= 1
, m
, найдем выражения вида (3),
которые в совокупности с (6) составляют требуемую реализацию.
I
3. Построение реализаций выбором кораспределения
H
1
.
Вве-
дем следующие обозначения:
ˉ
r
= (
r
1
, . . . , r
m
)
, R
= max
i
=1
,m
r
i
.
(20)
Тогда для системы (1) по аналогии с модулем
H
1
определим [4]
H
ˉ
r
1
= span
F
{
dt, dy, . . . , dy
(
k
−
1)
, du
1
, . . .
. . . , du
(
s
1
−
r
1
+
R
−
1)
1
, du
2
, . . . , du
(
s
m
−
r
m
+
R
−
1)
m
}
.
(21)
Модули
H
ˉ
r
i
вводятся по индукции:
H
ˉ
r
i
+1
=
{
ω
2 H
ˉ
r
i
: ˙
ω
2 H
ˉ
r
i
}
.
(22)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3
7
