системы (38) и находим реализацию
˙
x
1
=
x
2
R
2
;
˙
x
2
=
−
gR
sin
x
1
−
R
¨
D
cos
x
1
;
y
=
x
1
.
Эта реализация не содержит производной
˙
R
.
Исключение производной
¨
D
выполним с помощью алгоритма 2.
1. В рассматриваемом случае
r
1
= 0
,
r
2
= 1
,
max
i
r
i
= 1
.
2. Формируем модуль
H
ˉ
r
1
:
H
ˉ
r
1
= span
F
{
dt, dy, d
˙
y, dR, d
˙
R, dD, d
˙
D
}
.
3. Находим разложения согласно (25) для элементов базиса модуля
H
ˉ
r
1
и получим базис модуля
H
ˉ
r
2
:
dy, d
˙
y
+
cos
y
R
d
˙
D, dR, dD.
4. Нетрудно убедиться, что по теореме Фробениуса модуль
H
ˉ
r
2
интегрируем.
5. Базис модуля
H
ˉ
r
2
из точных 1-форм имеет вид
dy, d
(
R
˙
y
+ ˙
D
cos
y
)
, dR, d
˙
D.
6. Формируем векторную функцию (4) и запишем следующую за-
мену переменных:
x
1
=
y
;
x
2
=
R
˙
y
+ ˙
D
cos
y.
7. Обратим замену, полученную в п. 6, и запишем выражение (3) в
виде
y
=
x
1
.
8. Дифференцируем замену переменных, определенную в п. 6, в
силу системы (38) и находим реализацию
˙
x
1
=
x
2
R
2
−
˙
D
cos
x
1
;
˙
x
2
=
−
g
sin
x
1
−
( ˙
R
+ ˙
D
sin
x
1
)
x
2
R
−
˙
D
cos
x
1
;
y
=
x
1
.
Такая реализация не содержит производной
¨
D
, но включает в себя
производную
˙
D
.
З а м е ч а н и е . Применив алгоритм 1 или 2, можно показать, что
не существует реализации, не содержащей две производные управле-
ния одновременно, например,
˙
R
и
˙
D
или
¨
D
и
˙
D
.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства
образования и науки РФ (соглашение 14.B37.21.0370), гранта НШ-
3659.2012.1 Программы Президента РФ поддержки ведущих научных
школ и РФФИ (гранты 11-01-00733, 12-07-00267, 13-07-00736).
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3
