3. Определение базиса модуля
H
R
+1
согласно теореме 3, приведенной в
работе [8], для системы (13), (11).
4. Проверка интегрируемости модуля
H
R
+1
и условия существования
реализации по теореме Фробениуса.
5. Нахождение базиса из точных 1-форм и соответствующего ему набора
первых интегралов для модуля
H
R
+1
.
6. Дополнение набора
t, z
(
j
)
i
,
i
= 1
, m
,
j
= 0
, s
i
−
r
i
−
1
,
s
i
−
r
i
>
0
,
первыми интегралами, полученными на шаге 5, до максимальной по
составу функционально независимой системы, замена переменных
z
(
j
)
i
переменными
u
(
j
)
i
, а также переменных
v
i
переменными
u
(
s
i
−
r
i
)
i
со-
гласно (8), (9); формирование векторной функции (4).
7. Обращение замены
(
t, y,
˙
y, . . . , y
(
k
−
1)
, u,
˙
u, . . . , u
(
s
1
)
)
−→
(
t, x, u,
˙
u, . . . , u
(
s
1
)
)
,
(37)
которая определяется по векторной функции (4); получение выраже-
ния (3).
8. Дифференцирование замены переменных (4) в силу системы (1) и
исключение из полученных выражений выходов
y
с помощью соотно-
шений (3), в результате чего имеет место реализация (6).
Алгоритм 2
1. Выбор набора чисел
r
i
,
i
= 1
, m
, нахождение
R
= max
i
=1
,m
r
i
.
2. Построение модуля
H
ˉ
r
1
согласно (21).
3. Определение базиса модуля
H
ˉ
r
R
+1
на основе леммы (1).
4. Проверка интегрируемости модуля
H
ˉ
r
R
+1
и условия существования
реализации по теореме Фробениуса.
5. Нахождение базиса из точных 1-форм и соответствующего ему набора
первых интегралов для модуля
H
ˉ
r
R
+1
.
6. Дополнение набора переменных
t
первыми интегралами, полученны-
ми на шаге 5, до максимальной по составу функционально независи-
мой системы; формирование векторной функции (4).
7. Повтор шагов 7, 8 алгоритма 1.
Примеры.
Рассмотрим упрощенную модель подъемного крана
(рисунок):
¨
y
=
−
g
sin
y
R
−
2 ˙
y
R
˙
R
−
cos
y
R
¨
D,
(38)
где
y
— угол между канатом и вертикальной осью;
R
— длина каната;
D
— положение тележки. Величины
R
и
D
являются переменными
управления
J
1
(
u
1
, u
2
, см. (1)). В соответствии с принятыми обозначе-
ниями
s
1
= 1
,
s
2
= 2
для системы (38).
С помощью алгоритма 1 найдем реализацию, не содержащую про-
изводной
˙
R
, а с помощью алгоритма 2 — реализацию, не содержащую
производной
¨
D
.
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3
