d
dt
(W
т
·
I) = W
TJ
·
I
−
W
·
W
т
·
I +W
т
·
I
·
W
,
(51)
поскольку
I
J
= 0
. Подставляя (51) в (48), получаем
(W
TJ
·
I
−
W
·
W
т
·
I)
· ·
n
э
=
n
−
2
˜
μ.
(52)
Здесь учтено, что тензор
W
т
·
I
·
W
симметричен и, следовательно,
(W
т
·
I
·
W)
· ·
n
э
= 0
. Примем во внимание, что
n
э
·
. . .
n
−
2
·
n
э
=
k
(
n
−
2)
(Δ
II
−
Δ
III
)
,
где
Δ
II
=
r
i
1
⊗
r
i
2
⊗
r
i
1
⊗
r
i
2
и
Δ
III
= e
i
1
⊗
e
i
2
⊗
e
i
2
⊗
e
i
1
— второй
и третий единичные тензоры 4-го ранга [2],
k
(
n
−
2)
= (
−
1)
|
n...
1
|
(
n
−
2)!
(
|
n . . .
1
|
— число инверсий подстановки). Тогда, умножаяуравнение
(52) скалярно на
n
э
, получаем
(W
TJ
·
I
−
W
·
W
т
·
I)
· ·
(Δ
II
−
Δ
III
) = ˜
μ,
(53)
где
˜
μ
=
1
k
(
n
−
2)
n
−
2
˜
μ
·
. . .
n
−
2
·
n
э
=
=
1
k
(
n
−
2)
V
ρ
(˜
x
⊗
f
m
−
f
m
⊗
˜
x
)
dV
+
Σ
(˜
x
⊗
t
Σ
−
t
Σ
⊗
˜
x
)
d
Σ
— кососимметричный тензор 2-го ранга.
Принимаяво внимание свойства единичных тензоров 4-го ранга
A
· ·
Δ
II
= A
т
,
A
· ·
Δ
III
= A
, получаем окончательный вид уравне-
ния(53)
I
·
W
J
+W
J
·
I = I
·
W
·
W
т
−
W
·
W
т
·
I + ˜
μ.
(54)
Тензорное уравнение (54) является обобщением динамических
уравнений Эйлера на
n
-мерный случай. В компонентах в подвижном
базисе уравнение (54) записываетсятак:
(
I
i
k
δ
j
l
+
I
l
j
δ
i
k
)
dW
kl
dt
= (
I
i
k
δ
j
s
−
I
s
j
δ
i
k
)
W
kl
W
s
l
+ ˜
μ
ij
.
(55)
В таком виде это уравнение известно как уравнение Эйлера–Арнольда
[14–16 ]. Если подвижный базис
¯e
i
выбрать совпадающим с собствен-
ным базисом
◦
e
i
тензора моментов инерции
I
, то матрица компонент
I
i
k
тензора моментов инерции в этом базисе — диагональная:
I
i
α
=
I
α
δ
i
α
,
где
I
α
=
const
>
0
,
α
= 1
. . . n
— собственные значения, вещественные
и положительные. Тогда уравнение (55) примет вид
dW
αβ
dt
=
I
α
−
I
β
I
α
+
I
β
n
k
=1
W
αk
W
βk
+
˜
μ
αβ
I
α
+
I
β
.
(56)
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
