МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
О. А. А г а п о в
НАХОЖДЕНИЕ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ
Найдено точное решение нелинейного операторного уравнения ви-
да
∂u
(
r, t
)
/∂t
=
A
[
u
(
r, t
)]
,
u
:
R
n
×
R
+
→
R
, при условии
u
(
r,
0) =
ϕ
(
r
)
для бесконечно дифференцируемого по Фреше опера-
тора
A
. Приведены примеры решения задач Коши для уравнений
теплопроводности, переноса, обыкновенного дифференциального
уравнения с разделяющимися переменными и уравнения Кортевега–
де Фриза.
E-mail:
Ключевые слова
:
операторные уравнения, дифференциальные урав-
нения, нелинейные дифференциальные уравнения, дифференциальные
уравнения в частныхпроизводных.
Нахождение точного решения операторного уравнения.
Пусть
оператор
A
[
f
]
является отображением из множества
X
в множество
Y
функций
f
:
R
m
→
R
,
m
∈
N
, определенным на множестве
O
⊂
X
,
таким, что существуют и являются равномерно непрерывными на мно-
жестве
O
операторы
A
(
k
)
[
f
]
,
k
= 1
,
2
, . . .
)
[1]. Для этого случая найдем
точное решение задачи
⎧⎪⎨
⎪⎩
∂u
(
r, t
)
∂t
=
A
[
u
(
r, t
)]
, t >
0;
u
(
r, t
) =
ϕ
(
r
)
, t
= 0
,
t
∈
R
+
,
¯
r
∈
R
m
, u
:
R
m
×
R
+
→
R
.
(1)
Здесь
ϕ
(
r
)
— некоторая функция, принадлежащая множеству
O
.
Для нахождения точного решения задачи (1) зафиксируем некото-
рое значение
t
и определим последовательность
n
+1
равноотстоящих
значений
t
k
от 0 до
t
, отличающихся друг от друга на величину
τ
:
t
k
=
τk, τ
=
t/n, k
= 0
,
1
,
2
, . . . , n.
(2)
Предположим, что функция
u
(
x, η
)
, удовлетворяющая решению за-
дачи (1), принадлежит множеству
O
для любого
η
∈
[0
, t
]
и, кроме
того, бесконечно дифференцируема по переменной
η
на этом отрезке.
В этом случае можно представить первое уравнение задачи (1) в виде
u
n
(
r
) =
u
n
−
1
(
r
) +
τA
[
u
n
−
1
(
r
)] +
O τ
2
,
(3)
где
u
k
(
r
) =
u
(
r, t
k
)
. Учитывая аналогичную зависимость функций
u
n
−
1
(
r
)
и
u
n
−
2
(
r
)
, можно записать выражение для функции
u
n
(
r
)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
3
