Учитывая свойство биномиальныхкоэффициентов
C
n
k
+
C
n
k
−
1
=
C
n
+1
k
,
а также рекуррентное соотношение (8), окончательно имеем
u
n
(
r
) =
k
+1
i
=0
C
k
+1
i
τ
i
A
[
i
]
[
u
n
−
k
−
1
(
r
)] +
R
k
+1
(
r, τ
)
,
(13)
Согласно методу математической индукции соотношение (10) име-
ет место для любого положительного
k
. В частности, при
k
=
n
полу-
чим зависимость между функциями
u
n
(
r
)
и
u
0
(
r
) =
ϕ
(
r
)
u
n
(
r
) =
n
i
=0
C
n
i
τ
i
A
[
i
]
[
ϕ
(
r
)] +
R
n
(
r, τ
)
.
(14)
Рассмотрим предел функции
u
n
(
r
)
при
n
→ ∞
. Для этого умно-
жим и разделим каждую величину
τ
i
уравнения (14) на
n
i
:
u
n
(
r
) =
n
i
=0
C
n
i
n
i
(
nτ
)
i
A
[
i
]
[
ϕ
(
r
)] +
R
n
(
r, τ
)
.
(15)
Предположим, что предел функции
R
n
(
r, τ
)
при
n
→ ∞
равен ну-
лю (далее будет показано, что полученная таким образом функция
u
(
r, t
)
представляет точное решение задачи (1)). Если предположе-
ние верно, учитывая соотношение
t
n
=
nτ
=
t
, а также соотношение
lim
n
→∞
C
n
i
/n
i
= 1
/i
!
, получаем точное решение задачи (1)
u
(
r, t
) =
n
i
=0
1
i
!
t
i
A
[
i
]
[
ϕ
(
r
)] = exp(
t A
) [
ϕ
(
r
)]
.
(16)
Правая часть равенства (16) есть обозначение, введенное здесь для
удобства. Действительно, ряд средней части равенства (16) подобен
разложению экспоненты в ряд Тейлора, что делает оправданным вве-
денное обозначение.
Функция
u
(
r, t
)
в виде (16) удовлетворяет начальному условию за-
дачи (1). Действительно, в силу того, что нулевая дифференциальная
степень оператора
A
есть тождественный оператор
A
[0]
[
ϕ
(
r
)]
≡
ϕ
(
r
)
,
а перед другими дифференциальными степенями стоит переменная
t
в соответствующихположительныхстепенях, то функция
u
(
r, t
)
со-
впадает c
ϕ
(
r
)
при
t
= 0
.
Доказательство совпадения предела с точным решением.
При-
веденное ниже доказательство строится на предположении, что функ-
ция (16) существует для любого
t
из некоторого отрезка
[0
, T
]
,
T >
0
,
и принадлежит множеству
O
. В противном случае решение задачи (1)
не может быть представлено в виде (16).
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
