разложение экспоненты в ряд Тейлора, поэтому можно записать
u
(
x, t
) =
+
∞
−∞
C
(
λ
) exp
ixλ
−
a
2
tλ
2
dλ.
(36)
Используя обратное интегральное преобразование Фурье для функции
C
(
λ
)
, можно переписать выражение (36) в виде
u
(
x, t
) =
+
∞
−∞
1
2
π
⎡
⎣
+
∞
−∞
ϕ
(
y
)
e
−
iyλ
dy
⎤
⎦
exp
−
a
2
tλ
2
+
ixλ dλ.
(37)
Изменив порядок интегрирования в соотношении (37), запишем
u
(
x, t
) =
+
∞
−∞
G
(
x, y, t
)
ϕ
(
y
)
dy,
(38)
где
G
(
x, y, t
) =
1
2
π
+
∞
−∞
exp
−
a
2
tλ
2
+
i
(
x
−
y
)
λ dλ.
(39)
Функция (39) эквивалентна функции [6]
G
(
x, y, t
) =
1
√
4
πa
2
t
exp
−
(
x
−
y
)
2
4
a
2
t
.
(40)
Как известно [3], функция (40) представляет собой функцию Грина
линейного параболического уравнения, а функция (38) является реше-
нием задачи Коши (31).
Обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными.
Получим точное решение для уравнения вида
∂u
∂t
= exp(
−
u
)
,
(41)
при условии
u
(
r, t
)
|
t
=0
=
ϕ
(
r
)
.
Первая дифференциальная степень оператора экспоненты будет
иметь вид
A
[
ϕ
]
≡
exp(
−
ϕ
)
, вторая
A
[2]
[
ϕ
]
≡ −
exp(
−
2
ϕ
)
. Для
k
-й
степени запишем выражение
A
[
k
]
[
ϕ
]
≡
(
−
1)
k
−
1
(
k
−
1)exp(
−
kϕ
)
.
Таким образом, согласно (16) точное решение уравнения (41)
u
(
r, t
) =
ϕ
(
r
) +
∞
k
=1
1
k
!
(
−
1)
k
−
1
(
k
−
1)!
t
k
exp [
−
kϕ
(
r
)] =
= ln (exp(
ϕ
(
r
)) +
t
)
.
(42)
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
