•
F
k
+1
[
f
]
≡
(
F
k
[
f
])
B
[
f
]
(
k
= 0
,
1
,
2
, . . .
)
. Назовем
F
m
[
f
]
,
m
∈
Z
+
, m
-й дифференциальной степеньюоператора
B
[
f
]
и обо-
значим
B
[
m
]
[
f
]
. Число
m
назовем показателем дифференциальной
степени оператора.
Согласно определению дифференциальные степени оператора
A
связаны между собой рекуррентным соотношением
A
[
k
+1]
[
u
]
≡
A
[
k
]
[
u
]
A
[
u
]
, k
= 0
,
1
,
2
, . . . ,
A
[0]
≡
I
[
u
]
≡
u.
(8)
Таким образом, с учетом введенныхобозначений уравнение (6) можно
записать в виде
u
n
(
r
) =
u
n
−
3
(
r
) + 3
τA
[
u
n
−
3
(
r
)]+
+ 3
τ
2
A
[2]
[
u
n
−
3
(
r
)] +
τ
3
A
[3]
[
u
n
−
3
(
r
)] +
R
3
(
r, τ
)
.
(9)
Сравнивая уравнения (3), (5) и (9) можно предположить, что в об-
щем случае, последовательно выражая функцию
u
n
(
r
)
через
u
n
−
1
(
r
)
,
u
n
−
2
(
r
)
,. . . ,
u
n
−
k
(
r
)
и учитывая на каждом шаге только два слагаемых
ряда разложения по формуле Тейлора, можно получить зависимость
u
n
(
r
)
и
u
n
−
k
(
r
)
в виде суммы биномиального ряда и некоторого сла-
гаемого
R
k
(
r, τ
)
:
u
n
(
r
) =
k
i
=0
C
k
i
τ
i
A
[
i
]
[
u
n
−
k
(
r
)] +
R
k
(
r, τ
)
,
(10)
где
C
k
i
=
k
!
i
! (
k
−
i
)!
— биномиальные коэффициенты. Действительно, пусть для некоторого
k < n
уравнение (10) имеет место при указанной последовательности
математическихопераций. Тогда можно записать
u
n
(
r
) =
k
i
=0
C
k
i
τ
i
A
[
i
]
u
n
−
k
−
1
(
r
)+
+
τA
[
u
n
−
k
−
1
(
r
)] +
O τ
2
+
R
k
(
r, τ
)
.
(11)
Разлагая в ряд по формуле Тейлора оператор
A
[
i
]
и удерживая первые
два члена ряда, получаем
u
n
(
r
) =
k
i
=0
C
k
i
τ
i
A
[
i
]
[
u
n
−
k
−
1
(
r
)] +
+
k
i
=0
C
k
i
τ
i
+1
A
[
i
]
[
u
n
−
k
−
1
(
r
)]
A
[
u
n
−
k
−
1
(
r
)] +
R
k
+1
(
r, τ
)
.
(12)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
5
