A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
=
∂
∂t
∞
n
=1
1
n
!
t
n
A
[
n
]
[
ϕ
(
r
)] =
=
∂
∂t
ϕ
(
r
) +
∞
n
=1
1
n
!
t
n
A
[
n
]
[
ϕ
(
r
)] =
∂
∂t
(exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)])
.
(30)
Соотношение (30) показывает, что производная функции (16) по вре-
мени есть оператор
A
, действующий на эту функцию, что и требова-
лось доказать.
Примеры.
Линейное параболическое уравнение.
Получим точное
решение задачи Коши для линейного параболического уравнения:
⎧⎨
⎩
∂u
∂t
=
a
2
∂
2
u
∂x
2
, t >
0;
u
(
x, t
) =
ϕ
(
x
)
, t
= 0
.
(31)
В этом случае дифференциальные степени оператора
A
имеют вид
A
[
k
]
[
ϕ
]
≡
a
2
k
∂
2
k
ϕ
∂x
2
k
, k
= 0
,
1
,
2
, . . . .
(32)
Действительно, первая степень этого отображения
A
[
ϕ
]
≡
a
2
∂
2
ϕ
∂x
2
, вто-
рая —
A
[2]
[
ϕ
]
≡
A
[
ϕ
]
A
[
ϕ
]
≡
a
4
∂
2
∂x
2
∂
2
ϕ
∂x
2
≡
a
4
∂
4
ϕ
∂x
4
и т.д. Таким образом,
учитывая соотношение (16), получаем точное решение задачи (31)
u
(
x, t
) = exp
t
∂
2
∂x
2
[
ϕ
(
x
)] =
∞
k
=0
1
k
!
a
2
k
t
k
∂
2
k
ϕ
(
x
)
∂x
2
k
.
(33)
Покажем, что функцию (33) можно привести к известному решению
[3] задачи Коши для уравнения теплопроводности. Представим функ-
цию
ϕ
(
x
)
в виде интеграла Фурье:
ϕ
(
x
) =
+
∞
−∞
C
(
λ
)
e
ixλ
dλ.
(34)
Тогда соотношение (33) примет вид
u
(
x, t
) =
+
∞
−∞
C
(
λ
)
e
ixλ
∞
k
=0
(
−
a
2
tλ
2
)
k
k
!
dλ.
(35)
Сумма, стоящая под интегралом выражения (35), представляет собой
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
11
