Чтобы проверить, является ли функция (16) решением задачи, до-
статочно доказать справедливость равенства
∂
∂t
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
=
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
.
(17)
Для этого разложим правую часть выражения (17) в ряд Тейлора по
переменной
t
относительно
t
= 0
. Первым членом этого разложения
будет функция
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}|
t
=0
=
A
[
ϕ
(
r
)]
,
вторым —
∂
∂t
(
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
)
t
=0
·
t
=
=
A
[
ϕ
(
r
)]
∂
∂t
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
t
=0
·
t
=
=
t A
[
ϕ
(
r
)]
A
[
ϕ
(
r
)] =
t A
[2]
[
ϕ
(
r
)]
.
Таким образом, можно предположить, что ряд Тейлора правой час-
ти соотношения (17) по переменной
t
будет иметь вид
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
=
∞
n
=0
1
n
!
t
n
A
[
n
+1]
[
ϕ
(
r
)]
.
(18)
Чтобы доказать справедливость соотношения (18), представим пра-
вую часть (17) в виде разложения Тейлора относительно функции
ϕ
(
r
)
:
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
=
∞
n
=0
1
n
!
A
(
n
)
[
ϕ
(
r
)] (exp (
tA
) [
ϕ
(
r
)]
−
ϕ
(
r
))
n
(19)
или
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
=
∞
n
=0
1
n
!
A
(
n
)
[
ϕ
(
r
)]
∞
k
=1
1
k
!
t
k
A
[
k
]
[
ϕ
(
r
)]
n
.
(20)
Соотношение (20) можно записать в другой форме:
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
=
∞
n
=0
1
n
!
A
(
n
)
[
ϕ
(
r
)]
×
×
∞
k
1
,...,k
n
=1
1
k
1
!
k
2
!
. . . k
n
!
t
k
1
+
k
2
+
...
+
k
n
A
[
k
1
]
[
ϕ
(
r
)]
A
[
k
2
]
[
ϕ
(
r
)]
. . . A
[
k
n
]
[
ϕ
(
r
)]
.
(21)
Таким образом, можно записать
m
-ю (
m
1)
производную по пере-
менной
t
в точке
t
= 0
. В этом случае в правой части соотношения (21)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
7
