останутся только слагаемые, в которыхпоказатель степени перемен-
ной
t
равен
m
. Тогда
∂
m
∂t
m
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
t
=0
=
=
m
n
=1
1
n
!
A
(
n
)
[
ϕ
(
r
)]
k
1
,...,k
n
m
!
k
1
!
k
2
!
. . . k
n
!
A
[
k
1
]
[
ϕ
(
r
)]
. . . A
[
k
n
]
[
ϕ
(
r
)]
,
(22)
где суммирование ведется по всем
k
i
, таким что
k
1
+
. . .
+
k
n
=
m
.
Предположим, что для некоторого
m
выполняется равенство
∂
m
∂t
m
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
t
=0
=
A
[
m
+1]
[
ϕ
(
r
)]
.
(23)
Тогда в силу рекуррентного соотношения (8) имеем
A
[
m
+1]
[
ϕ
(
r
)]
×
×
A
[
ϕ
(
r
)] =
A
[
m
+2]
[
ϕ
(
r
)]
и должно выполняться равенство
∂
m
∂t
m
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
t
=0
A
[
ϕ
(
r
)] =
=
∂
m
+1
∂t
m
+1
A
{
exp (
t A
) [
ϕ
(
r
)]
}
t
=0
.
(24)
Действительно, представим левую часть (24) в виде
m
n
=1
1
n
!
A
(
n
)
[
ϕ
(
r
)]
k
1
,...,k
n
m
!
k
1
!
k
2
!
. . . k
n
!
A
[
k
1
]
[
ϕ
(
r
)]
. . . A
[
k
n
]
[
ϕ
(
r
)]
×
×
A
[
ϕ
(
r
)] =
m
n
=1
1
n
!
A
(
n
)
[
ϕ
(
r
)]
n
z
=1
k
1
,...,k
n
m
!
k
1
!
k
2
!
. . . k
n
!
×
×
A
[
k
1
]
[
ϕ
(
r
)]
. . . A
[
k
z
+1]
[
ϕ
(
r
)]
. . . A
[
k
n
]
[
ϕ
(
r
)]+
+
m
n
=1
1
n
!
A
(
n
+1)
[
ϕ
(
r
)]
k
1
,...,k
n
m
!
k
1
!
k
2
!
. . . k
n
!
A
[
k
1
]
[
ϕ
(
r
)]
. . .
. . . A
[
k
n
]
[
ϕ
(
r
)]
A
[
ϕ
(
r
)]
.
(25)
Умножим и разделим второе слагаемое выражения (25) на
n
+ 1
и
учтем, что
(
n
+ 1)
a
=
n
+1
z
=1
a
, где
a
— произвольная величина. Получим
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
