∂
m
∂t
m
A
[
u
(
x, t
)]
t
=0
A
[
ϕ
(
r
)] =
=
m
n
=1
1
n
!
A
(
n
)
[
ϕ
(
r
)]
n
z
=1
k
1
,...,k
n
m
!
k
1
!
k
2
!
. . . k
n
!
×
×
A
[
k
1
]
[
ϕ
(
r
)]
. . .A
[
k
z
+1]
[
ϕ
(
r
)]
. . . A
[
k
n
]
[
ϕ
(
r
)]+
+
m
n
=1
1
(
n
+ 1)!
A
(
n
+1)
[
ϕ
(
r
)]
n
+1
z
=1
k
1
,...,k
n
m
!
k
1
!
k
2
!
. . . k
n
!
×
×
A
[
k
1
]
[
ϕ
(
r
)]
. . . A
[
k
n
]
[
ϕ
(
r
)]
A
[
ϕ
(
r
)]
.
(26)
Заменив
n
+1
на
n
во втором слагаемом, можно переписать уравнение
(26) в виде
∂
m
∂t
m
A
[
u
(
x, t
)]
t
=0
A
[
ϕ
(
r
)] =
=
m
n
=1
1
n
!
A
(
n
)
[
ϕ
(
r
)]
n
z
=1
k
1
,...,k
n
m
!
k
1
!
k
2
!
...k
n
!
×
×
A
[
k
1
]
[
ϕ
(
r
)]
...A
[
k
z
+1]
[
ϕ
(
r
)]
...A
[
k
n
]
[
ϕ
(
r
)]+
+
m
+1
n
=2
1
n
!
A
(
n
)
[
ϕ
(
r
)]
n
z
=1
k
1
,...,k
z
−
1
,k
z
+1
,...,k
n
m
!
k
1
!
k
2
!
...k
z
−
1
!1!
k
z
+1
!
....k
n
!
×
×
A
[
k
1
]
[
ϕ
(
r
)]
...A
[
k
z
−
1
]
[
ϕ
(
r
)]
A
[1]
[
ϕ
(
r
)]
A
[
k
z
+1
]
[
ϕ
(
r
)]
...A
[
k
n
]
[
ϕ
(
r
)]
.
(27)
Здесь во втором слагаемом суммирование ведется по всем
k
i
, кроме
k
z
, удовлетворяющим равенству
k
1
+
. . .
+
k
z
−
1
+
k
z
+1
. . .
+
k
n
=
m
.
Отметим, что сумма показателей дифференциальныхстепеней опе-
раторов
A
в первом слагаемом (27) равна теперь
m
+ 1
. Кроме того, в
этом слагаемом при
n >
1
показатель
k
z
дифференциальной степени
z
-го оператора
A
при фиксированныхпоказателяхдифференциальных
степеней другихоператоров пробегает все возможные значения, опре-
деляемые соотношением
k
1
+
. . .
+ (
k
z
+ 1) +
. . .
+
k
n
=
m
+ 1
, кроме
m
= 1
. Во втором же слагаемом показатель дифференциальной степе-
ни
z
-го оператора
A
равен единице. Таким образом, можно объединить
первое и второе слагаемые уравнения (27) и записать
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
9
