через
u
n
−
2
(
r
)
в виде
u
n
(
r
) =
u
n
−
2
(
r
) +
τA
[
u
n
−
2
(
r
)] +
+
τA u
n
−
2
(
r
) +
τA
[
u
n
−
2
(
r
)] +
O τ
2
+
O τ
2
.
(4)
Представим оператор
A
из третьего слагаемого соотношения (4)
в виде ряда по формуле Тейлора [2] относительно функции
u
n
−
2
(
r
)
.
В этом случае выражение (4) примет вид
u
n
(
r
) =
u
n
−
2
(
r
) + 2
τA
[
u
n
−
2
(
r
)] +
+
τ
2
A
[
u
n
−
2
(
r
)]
A
[
u
n
−
2
(
r
)] +
R
2
(
r, τ
)
.
(5)
Здесь штриху оператора
A
означает производную по Фреше этого
оператора [1]. Функция
R
2
(
r, τ
)
представляет собой бесконечно ма-
лую величину второго порядка при
τ
→
0
и включает в себя третье и
последующие слагаемые ряда формулы Тейлора разложения операто-
ра
A
, а также слагаемые, связанные с погрешностью аппроксимации
производной по переменной
t
конечной разностью. Индекс 2 означает,
что остаточный член соответствует выражению
u
n
(
r
)
через
u
n
−
2
(
r
)
.
Аналогично можно записать выражение
u
n
(
r
)
через
u
n
−
3
(
r
)
:
u
n
(
r
) =
u
n
−
3
(
r
) + 3
τA
[
u
n
−
3
(
r
)] + 3
τ
2
A
[
u
n
−
3
(
r
)]
A
[
u
n
−
3
(
r
)] +
+
τ
3
{
A
[
u
n
−
3
(
r
)]
A
[
u
n
−
3
(
r
)] +
A
[
u
n
−
3
(
r
)]
A
[
u
n
−
3
(
r
)]
}
A
[
u
n
−
3
(
r
)] +
+
R
3
(
r, τ
)
.
(6)
Видно, что выражения, стоящие при различныхстепенях
τ
в уравне-
нии (6), с точностью до постоянного множителя связаны между собой
соотношением
P
s
+1
[
u
]
≡
(
P
s
[
u
])
A
[
u
]
, s
= 1
,
2
,
3
,
4
,
(7)
где соответственно
P
1
[
u
]
≡
u
,
P
2
[
u
]
≡
A
[
u
]
,
P
3
[
u
]
≡
A
[
u
]
A
[
u
]
,
P
4
[
u
]
≡
A
[
u
]
A
[
u
]
A
[
u
] +
A
[
u
]
A
[
u
]
A
[
u
]
1
. Для упрощения записи урав-
нения (6) и последующихсоотношений удобно ввести понятие
диф-
ференциальной степени
оператора.
Определение.
Пусть задан оператор
B
:
X
1
→
Y
1
,
опреде-
ленный на множестве
O
1
⊂
X
1
,
такой
,
что существуют рав-
номерно непрерывные на множестве
O
1
его производные Фреше
B
(
p
)
[
f
](
p
= 1
,
2
,
3
, . . . , f
∈
X
1
)
. Пусть
F
k
[
f
]
— последовательность
операторов таких
,
что
•
F
0
[
f
]
≡
I
[
f
] (
I
[ ]
— тождественный оператор
)
,
1
Здесь и далее тождество означает эквивалентность стоящихслева и справа опе-
раторов.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
