Выражение (42) совпадает с выражением, полученным непосредствен-
ным интегрированием уравнения (41).
Одномерное уравнение переноса.
Рассмотрим нахождение точного
решения задачи
⎧⎪⎨
⎪⎩
∂u
∂t
=
c
∂u
∂x
, t >
0
,
u
(
x, t
) =
ϕ
(
x
)
, t
= 0
.
(43)
Первая дифференциальная степень оператора
A
в уравнении (43)
A
[1]
[
u
]
≡
c
∂u
∂x
,
вторая —
A
[2]
[
u
]
≡
A
[
u
]
A
[
u
]
≡
c
2
∂
∂x
∂u
∂x
≡
c
2
∂
2
u
∂x
2
;
k
-я дифференциальная степень
A
[
k
]
[
u
]
≡
A
[
u
]
. . . A
[
u
]
k
−
1
раз
A
[
u
]
≡
c
k
∂
k
u
∂x
k
.
Согласно (16) получаем точное решение задачи (43)
u
(
x, t
) =
ϕ
(
x
) +
∞
k
=1
1
k
!
c
k
∂
k
ϕ
∂x
k
t
k
=
ϕ
(
x
+
ct
)
.
(44)
Решение уравнения Кортевега–де Фриза в виде кноидальных
волн.
Найдем частное решение задачи Коши для уравнения Кортевега–
де Фриза [4] в виде кноидальныхволн:
⎧⎪⎨
⎪⎩
∂u
∂t
=
−
u
∂u
∂x
−
β
∂
3
u
∂x
3
, t >
0;
u
(
x, t
) =
ϕ
(
x
)
, t
= 0
.
(45)
Запишем три первые дифференциальные степени оператора
A
от
функции
ϕ
:
A
[1]
[
ϕ
]
≡ −
ϕϕ
x
−
βϕ
xxx
;
A
[2]
[
ϕ
] =
−
d
dx
ϕA
[1]
[
ϕ
] +
βA
[1]
[
ϕ
]
xx
;
A
[3]
[
ϕ
] =
−
d
dx
A
[1]
[
ϕ
]
2
+
uA
[2]
[
ϕ
] +
βA
[2]
[
ϕ
]
xx
.
Согласно выражению (16) записываем решение задачи (45) (с точ-
ностью до четвертого члена)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
13
