u
(
x, t
) =
A
[1]
[
ϕ
]
−
d
dx
ϕA
[1]
[
ϕ
] +
βA
[1]
[
ϕ
]
xx
t
−
−
1
2
d
dx
A
[1]
[
ϕ
]
2
+
ϕA
[2]
[
ϕ
] +
βA
[2]
[
ϕ
]
xx
t
2
+
. . . .
(46)
Покажем, что если функция
ϕ
(
x
)
имеет вид
ϕ
(
x
) =
B
+
A
cn
2
x
!
2
A
+ 3
B
−
2
v
12
β
, s ,
(47)
где cn
(
α, χ
)
— эллиптическая функция Якоби [5], а
A
,
B
,
v
и
s
—
константы, удовлетворяющие соотношениям
s
=
A
2
A
+ 3
B
−
2
v
, A >
0
, B >
0
,
2
A
+ 3
B
−
2
v >
0
,
то решение (46) представляет известный вид кноидальной волны. Как
известно [4], функция (47) удовлетворяет уравнению
ϕϕ
x
+
βϕ
xxx
=
−
vϕ
x
.
(48)
В этом случае первая дифференциальная степень оператора
A
от
ϕ
будет
A
[1]
[
ϕ
]
≡ −
ϕϕ
x
−
βϕ
xxx
=
vϕ
x
,
вторая —
A
[2]
[
ϕ
] =
−
d
dx
[
ϕ vϕ
x
+
vβϕ
xxx
] =
v
2
ϕ
xx
.
Можно предположить, что
n
-я дифференциальная степень оператора
A
имеет вид
A
[
n
]
[
ϕ
] =
v
n
∂
n
ϕ
∂x
n
.
(49)
Действительно, (
n
+ 1
)-я дифференциальная степень оператора
A
свя-
зана с
n
-й соотношением
A
[
n
+1]
[
ϕ
] =
A
[
n
]
[
ϕ
]
A
[
ϕ
]
. Учитывая соот-
ношения (48) и (49), получаем выражение для (
n
+ 1
)-й дифференци-
альной степени
A
[
n
+1]
[
ϕ
] =
v
n
∂
n
ϕ
∂x
n
(
−
ϕϕ
x
−
βϕ
xxx
) =
v
n
∂
n
∂x
n
(
vϕ
x
) =
v
n
+1
∂
n
+1
ϕ
∂x
n
+1
,
и согласно методу математической индукции для любого
n
справедли-
во соотношение (49). Тогда в соответствии с выражением (16) точное
решение задачи (45) при условии (46) есть
u
(
x, t
) =
ϕ
(
x
) +
∞
k
=1
1
k
!
∂
k
+1
ϕ
∂x
k
+1
v
k
t
k
=
ϕ
(
x
+
vt
)
.
(50)
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
