казано, что
E
U
k
−
R
k
N
+ 1
2
<
1
N
, откуда следует, что
U
1
, . . . , U
N
, а
значит, и
ϕ
(
F
−
1
(
U
k
))
F
−
1
(
U
l
)
,
k, l
= 1
, . . . , N,
являются
F
∞
-измеримыми. Используя теорему Б из [7, п. II.1.2], по-
лучаем
a
mn
(
r
k
, r
l
) =
E
[
ϕ
(
F
−
1
(
U
(
r
k
)
))
F
−
1
(
U
(
r
l
)
)] =
=
E
[
ϕ
(
F
−
1
(
U
k
))
F
−
1
(
U
l
)
|
R
k
=
r
k
, R
l
=
r
l
]
.
Поэтому для всех
k, l
= 1
, . . . , N
случайная величина
a
mn
(
R
k
, R
l
) =
E
[
ϕ
(
F
−
1
(
U
k
))
F
−
1
(
U
l
)
|
F
N
]
является
F
N
-измеримой, и по лемме [7, п.V.1.4, с. 201] с учетом (14)
lim
N
→∞
E E
[
ϕ
(
F
−
1
(
U
k
))
F
−
1
(
U
l
)
|
F
N
]
−
ϕ
(
F
−
1
(
U
k
))
F
−
1
(
U
l
)
2
= 0
.
(15)
Лемма
D
[
z
pq
(
R
)]
≤
mnC
E
[
a
2
mn
(
R
2
, R
1
)]
,
(
p, q
)
∈ I
,
где постоянная
C
не зависит от
m
и
n
.
Доказательство.
Так как слагаемые в
z
pq
(
R
)
одинаково распреде-
лены, то
D
[
z
pq
(
R
)] = (
m
−
p
)(
n
−
q
)
D
[
a
mn
(
R
2
, R
1
)]+
+ (
m
−
2
p
)(
n
−
2
q
)
cov
[
a
mn
(
R
2
, R
1
)
, a
mn
(
R
3
, R
2
)]+
+ 2 (
m
−
p
)
2
(
n
−
q
)
2
−
(
m
−
p
)(
n
−
q
)
−
(
m
−
2
p
)(
n
−
2
q
)
×
×
cov
[
a
mn
(
R
2
, R
1
)
, a
mn
(
R
4
, R
3
)]
≤
≤
N
2
D
[
a
mn
(
R
2
, R
1
)] +
N
cov
[
a
mn
(
R
2
, R
1
)
, a
mn
(
R
4
, R
3
)]
.
Так как при
H
0
все значения вектора
(
R
1
, R
2
, R
3
, R
4
)
равновероятны,
то
E
[
a
mn
(
R
2
, R
1
)
, a
mn
(
R
4
, R
3
)] =
=
1
N
(
N
−
1)(
N
−
2)(
N
−
3)
1
≤
i
=
j
=
k
=
l
≤
N
a
mn
(
i, j
)
a
mn
(
k, l
) =
=
1
N
(
N
−
1)(
N
−
2)(
N
−
3)
×
×
1
≤
i
=
j
≤
N
a
mn
(
i, j
)
⎛
⎜⎜⎜⎝
1
≤
k
=
l
≤
N
a
mn
(
k, l
)
−
n
k
=1
k
=
i
k
=
j
a
mn
(
k, i
)
−
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
25
