[6, § 2.2], что
f
ij
(
x, y
) =
=
K
ij
F
i
−
1
(
x
)
f
(
x
)[
F
(
y
)
−
F
(
x
)]
j
−
i
−
1
f
(
y
)[1
−
F
(
y
)]
mn
−
j
,
если
x
≤
y,
0
,
если
x > y,
где
K
ij
=
(
mn
)!
(
i
−
1)!(
j
−
i
−
1)!(
mn
−
j
)!
,
1
≤
i < j
≤
mn.
Отсюда, в частности, следует, что условия (8), (9) достаточны для
существования меток (3).
Отметим, что при
H
0
все
(
mn
)!
различныхзначений
R
равно-
вероятны. Поэтому распределение
z
(
R
)
при
H
0
не изменится, если
матрица рангов
R
будет вычисляться по наблюдениям
X
поля (1) в
предположении, что плотность инновационного поля
ε
ij
будет отли-
чаться от плотности
f
(
x
)
, порождающей метки (3) статистик (5). При
этом мощность критериев (11) – (13), вообще говоря, уменьшится.
Асимптотическая нормальность статистик ЛНМ критериев.
Для практического применения критериев (11) – (13) нужно знать рас-
пределение статистики
z
(
R
)
при гипотезе
H
0
.
Для небольших
m
и
n
квантили статистики
z
(
R
)
можно оценить
методом Монте-Карло. Если же
m
и
n
велики, то следующая теорема
позволяет для распределения
z
(
R
)
применить нормальную аппрокси-
мацию.
Теорема4.
Пусть выполнены условия
(7)
–
(10)
, σ
2
=
E
ε
2
11
<
∞
и
f
имеет конечное количество информации Фишера
I
(
f
) =
∞
−∞
f
(
x
)
f
(
x
)
2
f
(
x
)
dx <
∞
.
(14)
Тогда статистики
1
√
mn
z
pq
(
R
)
асимптотически нормальны с нуле-
вым математическим ожиданием и дисперсией
σ
2
I
(
f
) :
1
√
mn
z
pq
(
R
)
ac
∼ N
0
, σ
2
I
(
f
)
.
Доказательство теоремы 4 приведено в приложении.
Пример 1
(
нормальное распределение
). Пусть
f
(
x
) =
1
√
2
π
e
−
x
2
2
,
F
(
x
) = Φ(
x
) =
x
−∞
1
√
2
π
e
−
t
2
2
dt.
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
