Теорема1.
Пусть плотность
f
(
x
)
независимых одинаково распре-
деленных случайных величин
ε
ij
удовлетворяет следующим условиям:
E
ε
11
= 0;
(7)
E
|
ε
11
|
<
∞
;
(8)
∞
−∞
|
f
(
x
)
|
dx <
∞
;
(9)
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
< C
|
x
−
y
|
для любых
x, y
из
R
, C >
0
.
(10)
Тогда при
Δ
→
0
P
mn
(
r,
Δ) =
1
(
mn
)!
1 + Δ
z
(
r
) +
o
(Δ)
.
Доказательство теоремы 1 приведено в приложении.
Из теоремы 1 вытекают следующие теоремы, определяющие вид
ЛНМ критериев.
Теорема2.
Пусть выполнены условия (7)–(10) и
R
— матрица ран-
гов наблюдений поля (1). Тогда ЛНМ ранговый критерий отклоняет
H
0
в пользу
H
+
a
, если
z
(
R
)
> C
+
,
(11)
и принимает в противном случае. Постоянная
C
+
определяется уров-
нем значимости критерия.
Теорема3.
Пусть выполнены условия (7)–(10) и
R
— матрица ран-
гов наблюдений поля (1). Тогда ЛНМ ранговый критерий отклоняет
H
0
в пользу
H
−
a
, если
z
(
R
)
< C
−
,
(12)
и принимает в противном случае. Постоянная
C
−
определяется уров-
нем значимости критерия.
Теоремы 2 и 3 позволяют естественным образом определить ран-
говый критерий для проверки
H
0
против двусторонней альтернативы
H
a
на уровне значимости
α
как объединение двуходностороннихкри-
териев, проверяющихна уровне значимости
α/
2
альтернативы
H
+
a
и
H
−
a
. В этом случае при выполнении условий (7) – (10) гипотеза
H
0
отклоняется в пользу
H
a
, если
|
z
(
R
)
|
> C,
(13)
и принимается в противном случае. Постоянная
C
определяется уров-
нем значимости критерия.
Для вычисления меток
a
mn
(
i, j
)
нужна совместная плотность
f
ij
(
x, y
)
порядковыхстатистик
ε
(
i
)
и
ε
(
j
)
,
1
≤
i < j
≤
mn
, из распреде-
ления с плотностью
f
(
x
)
и функцией распределения
F
(
x
)
. Известно
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
19
