Пусть
a
= (
a
10
, a
01
, a
11
)
— некоторый известный вектор. Рассмот-
рим задачу проверки гипотезы
H
0
:
θ
= 0
против одностороннихальтернатив вида
H
+
a
:
θ
= Δ
a,
Δ
>
0
,
H
−
a
:
θ
= Δ
a,
Δ
<
0
,
и двусторонней альтернативы
H
a
:
θ
= Δ
a,
Δ = 0
.
Пусть
X
=
{
X
ij
}
,
i
= 1
, . . . , m, j
= 1
, . . . , n
— матрица наблюдений
поля (1).
Обозначим
R
ij
ранг
X
ij
в последовательности
X
11
, . . . , X
m
1
, . . . , X
1
n
, . . . , X
mn
.
Отметим, что матрица рангов наблюдений
R
=
{
R
ij
}
принадлежит
множеству
M
матриц размера
m
×
n
, элементы которыхявляются пе-
рестановками множества
{
1
,
2
, . . . , mn
}
. На основе информации толь-
ко о матрице
R
требуется построить оптимальные критерии проверки
гипотез о параметре
θ
. Оптимальность критериев будем понимать в
следующем смысле.
Обозначим
Q
критическую область рангового критерия, т. е. такое
подмножество в
M
, что если матрица
R
принадлежит
Q
, то гипотеза
H
0
отклоняется. Через
P
mn
(
Q,
Δ)
обозначим функцию мощности ран-
гового критерия, определяемую как вероятность отклонения гипотезы
H
0
, когда
H
0
не верна:
P
mn
(
Q,
Δ) =
P
{
R
∈
Q
|
верна альтернатива
θ
= Δ
a
}
.
Пусть
P
mn
(
Q,
Δ)
дифференцируема в точке
0
по
Δ
. Определим ЛНМ
ранговый критерий для проверки гипотезы
H
0
против односторон-
ней альтернативы
H
+
a
как критерий, имеющий функцию мощности
P
mn
(
Q,
Δ)
, наиболее круто возрастающую по переменной
Δ
в право-
сторонней окрестности точки
0
. Это означает, что критическая область
Q
ЛНМ рангового критерия должна быть выбрана так, чтобы величина
dP
mn
(
Q,
Δ)
d
Δ
при
Δ = 0
была максимальна. Совершенно аналогично
определим ЛНМ ранговый критерий для проверки гипотезы
H
0
против
односторонней альтернативы
H
−
a
как критерий, имеющий минималь-
ное значение
dP
mn
(
Q,
Δ)
d
Δ
при
Δ = 0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
17
