МАТЕМАТИКА
УДК 517.17
ОБОСНОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО МЕТОДА
КВАЗИГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
А.Ф. Грибов
,
Б.И. Шахтарин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail:
Дано строгое математическое обоснование метода квазигармонической лине-
аризации, который был предложен как модификация метода гармонического
баланса для анализа фазовых систем. Для этих систем
˙
x
=
f
(
x
)
существует
такой вектор
d
6
= 0
, что
8
x
2
R
n
f
(
x
+
d
) =
f
(
x
)
.
Математическим обоснованием классического метода гармонической линеа-
ризации занимались многие авторы (Р. Басс, Е.С. Пятницкий, Е.Н. Розенвассер
и др.) Специфика фазовых систем — наличие векового члена — потребова-
ла постановки задачи обоснования процедуры получения решения обобщенным
методом квазигармонической линеаризации. Для фазовых систем возможно су-
ществование как
O
-цикла, так и
l
-обходного
ϕ
-цикла. Условия существования
l
-обходного
ϕ
-цикла могут быть использованы для поиска хаотических систем
со счетным числом различных
l
-оборотных
ϕ
-циклов,
l
= 1
,
2
,
3
, . . .
Если у полу-
ченной системы алгебраических уравнений при всех
l
существует решение для
одних и тех же значений параметров, то исходная система имеет счетное чи-
сло периодических движений. Поскольку счетное множество
ϕ
-циклов может
быть только седловым, система является хаотической. Такие
l
-оборотные
ϕ
-циклы имеют вид
ϕ
(
t
) =
ωt
+
Im
N
X
k
=1
w
k
exp
ik
ω
l
t
и предполагаемое решение подставляется в исходное уравнение. Нелинейная
функция, входящая в уравнение фазовой системы, оказывается периодической
и раскладывается в ряд Фурье. Затем приравниваются члены, содержащие
одинаковые гармоники.
Определены условия, при которых решения, найденные методом квазигар-
монической линеаризации, мало отличаются от точного решения.
Ключевые слова
:
фазовая система, метод гармонического баланса, оценка точ-
ности.
SUBSTANTIATION OF THE GENERALIZED METHOD
FOR QUASI-HARMONIC LINEARIZATION
A.F. Gribov
,
B.I. Shakhtarin
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail:
The strict mathematical substantiation of the method for quasi-harmonic linearization
is given, which has been proposed as a modification of the harmonic balance method
for analysis of phase systems. For these systems
˙
x
=
f
(
x
)
there exists a vector
d
6
= 0
such that
8
x
2
R
n
f
(
x
+
d
) =
f
(
x
)
. Many authors (R. Bass, E.S. Pyatnitskii,
E.N. Rosenwasser, et al.) were engaged in mathematical substantiation of the classical
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
3
