Действительно, пусть уравнение (8) имеет периодическое решение
y
(
t
) =
ωt
+
∞
X
k
=
−∞
(
k
6
=0)
α
k
e
ikωt
.
Поскольку
Φ(
x
)
— это
2
π
-периодическая функция, функция
Φ
ωt
+
+
∞
X
k
=
−∞
(
k
6
=0)
α
k
e
ikωt
— периодическая и
Φ
ωt
+
∞
X
k
=
−∞
(
k
6
=0)
α
k
e
ikωt
=
∞
X
k
=
−∞
β
k
(
α
±
1
,
±
2
, . . .
)
e
ikωt
.
Подставляя это выражение в (8), получаем
ω
+
∞
X
k
=
−∞
(
k
6
=0)
ikωα
k
e
ikωt
=
∞
X
k
=
−∞
∞
Z
−∞
ϕ
ω
ср
(
t
−
τ
)
β
k
(
α
±
1
, . . .
)
e
ikωτ
dτ
=
=
∞
X
k
=
−∞
∞
Z
−∞
ϕ
ω
ср
(
ξ
)
β
k
(
α
±
1
, . . .
)
e
ikωt
e
−
ikωξ
dξ
=
∞
X
k
=
−∞
β
k
e
ikωt
K
(
ikω
)
.
Пусть
Nω
≤
ω
ср
≤
(
N
+ 1)
ω
, тогда
α
k
= 0
|
k
| ≥
N
+ 1;
ikωα
k
=
β
k
(
α
±
1
, . . . , α
±
N
)
K
(
ikω
) =
=
−
β
k
(
α
±
1
, . . . , α
±
N
)
K
(
ikω
)
0
6
=
|
k
| ≤
N
;
ω
=
−
β
0
K
(0) = (
γ
−
h
0
)
b
0
a
0
k
= 0
,
где
h
0
— коэффициент разложения в ряд Фурье функции
Φ(
x
)
. Эти
соотношения являются соотношениями квазигармонического баланса
при учете
N
гармоник, полученными ранее. В этом смысле уравнение
(8) — это уравнение квазигармонического баланса. Обоснование мето-
да заключается в поиске условий, при выполнении которых исходное
уравнение будет иметь решение, достаточно близкое к решению урав-
нения квазигармонического баланса (8).
Теоретическое обоснование метода квазигармонической линеари-
зации представим в виде совокупности следующих утверждений.
Лемма 1.
Пусть скалярная функция
u
(
t
)
≥
0
и
˙
u
(
t
)
≥
0
при
t
≥
0
,
u
(
t
)
— оригинал интегрального преобразования Лапласа,
u
(0) = 0
и
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
7
