Лемма 3.
Пусть полюсы оператора
W
(
p
)
расположены слева от
мнимой оси, а функции
ψ
ω
cp
,
4
(
t
)
и
ρ
4
(
ω
)
определены соотношения-
ми
(17)
и
(13)
соответственно. Тогда функция
ψ
ω
cp
,
4
(
t
)
абсолютно
интегрируема, причем
+
∞
Z
−∞
|
ψ
ω
cp
,
4
|
dt
≤
max
{
ε
0
, ε
1
ε
2
}
ε
0
max
{
sup
ω
|
ρ
00
4
|
,
sup
ω
|
ρ
0
4
|
,
1
}
R
1
,
где числа
ε
i
, i
= 0
,
1
,
2
,
находятся по формулам (12) и (18), а посто-
янная
R
1
имеет вид
R
1
=
Z
|
ω
|≤
ω
cp
[
|
K
|
+ 2
|
K
0
|
+
|
K
00
|
]
dω.
Доказательство приведено в работе [8].
Лемма 4.
Пусть полюсы оператора
K
(
p
)
расположены слева от
мнимой оси, а функция
k
(
t
)
определяется по выражению (7). Тогда
имеет место оценка
sup
t
2
(
−∞
,
∞
)
|
k
(
t
)
| ≤
1
2
π
+
∞
Z
−∞
|
K
(
iω
)
|
dω.
Доказательство дано в работе [8].
Теорема.
Пусть для уравнения
(2)
выполнены следующие условия:
1) разность порядков полиномов в знаменателе и числителе пере-
даточной функции
K
(
p
)
составляет не менее двух;
2) все полюсы функции
K
(
p
)
расположены слева от мнимой оси;
3) функция
Φ(
x
)
удовлетворяет условию Липшица
|
Φ(
x
0
)
−
Φ(
x
00
)
|
< L
|
x
0
−
x
00
|
, x
0
, x
00
2
(
−∞
,
∞
);
4) процедура квазигармонического баланса, примененная к уравне-
нию
(2)
, определяет решение
ωt
+
N
X
k
=1
A
k
sin(
kωt
+
γ
k
)
.
Тогда уравнение
(2)
имеет решение
ϕ
(
t
)
, удовлетворяющее нера-
венству
|
ϕ
(
t
)
−
(
ωt
+
N
X
k
=1
A
k
sin(
kωt
+
γ
k
))
| ≤
ε
1
/
2
RS
Ω
β
(
ω
);
t
2
[
t
0
, t
0
+
S
arsh
(1
/ε
1
/
2
)]
,
где
R
и
S
— постоянные, определяемые параметрами системы и
амплитудами
A
k
;
Ω
β
(
ω
)
— невозрастающая функция
ω
,
β
2
[0
,
1)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
9
