method for harmonic linearization. The phase system specificity — the presence of a
secular term — has required the statement of the problem on substantiation of the
procedure for obtaining a solution using the generalized method for quasi-harmonic
linearization. The existence of both an
O
-cycle and an
l
-bypass
ϕ
-cycle is possible
for phase systems. Conditions of existence of an
l
-bypass
ϕ
-cycle can be used for
searching chaotic systems with the denumerable many of different
l
-turn
ϕ
-cycles,
l
= 1
,
2
,
3
, . . .
. If a solution to the obtained system of algebraic equations exists with
all l for the same values of parameters then the initial system has a denumerable
number of periodic movements. Since the denumerable set of
ϕ
-cycles can be only a
saddle one, the system is chaotic. These
l
-turn
ϕ
-cycles have the form
ϕ
(
t
) =
ωt
+
Im
N
X
k
=1
w
k
exp
ik
ω
l
t
and the suggested solution is substituted into the initial equation. The nonlinear
function entering the phase-system equation appears to be periodic and is expanded
into a Fourier series. Next, the terms containing identical harmonics are equated.
The conditions are determined, with which the solutions that are found using the
quasi-harmonic linearization method differ very little from the exact solution.
Keywords
:
phase system, harmonic balance method, estimate of accuracy.
Приближенные методы исследования систем автоматического ре-
гулирования широко используются в инженерной практике и позво-
ляют получить аналитические соотношения, необходимые для анали-
за и расчета конкретных систем. Распространенным аналитическим
средством инженерного анализа всегда являлся метод гармоническо-
го баланса [1]. Модификация этого метода, позволяющая исследовать
фазовые системы, была предложена Б.И. Шахтариным в работе [2] и
названа методом квазигармонической линеаризации. Его обобщение
для случая произвольного (конечного) числа гармоник в предполага-
емом решении рассмотрено в работе [3], а в работе [4] приведены
определяющие соотношения, по которым можно находить параметры
l
-оборотных
ϕ
-циклов и исследовать их устойчивость.
Рассмотрим фазовую систему с невырожденной передаточной
функцией
W
(
p
)
. Такую систему можно представить в виде с явно
выделенной угловой координатой
ϕ
=
σ
[5]
˙
ϕ
=
%
т
x
−
a
Φ(
ϕ
);
˙
x
=
Ax
+
k
Φ(
ϕ
)
,
(1)
где
A
— постоянная матрица размерностью
(
n
−
1)
×
(
n
−
1)
;
k
и
%
—
постоянные
(
n
−
1)
-мерные векторы;
a
— число;
Φ(
ϕ
)
≡
(
F
(
ϕ
)
−
γ
)
—
скалярная
2
π
-периодическая функция.
Пусть
K
(
p
) =
R
(
p
)
p
−
1
S
(
p
)
передаточная функция системы (1) от входа
Φ
к выходу
(
−
˙
ϕ
)
. Тогда передаточная функция линейной части имеет
вид
W
(
p
) =
p
−
1
K
(
p
);
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
