при
t
≥
0
выполнено неравенство
˙
u
(
t
)
≤
A
+
B
t
Z
0
u
(
τ
)
dτ,
(10)
где
A
— положительная постоянная. Тогда при
t
≥
0
u
(
t
)
≤
A
√
B
sh
√
Bt.
J
Представим неравенство (10) в виде
˙
u
(
t
) =
A
+
B
t
Z
0
u
(
τ
)
dτ
+
c
(
t
)
,
(11)
где
c
(
t
)
≤
0
. Переходя к изображениям, получаем
pU
(
p
) =
A
p
+
B
U
(
p
)
p
+
C
(
p
)
,
отсюда
U
(
p
) =
p
p
2
−
B
A
p
+
C
(
p
) =
A
p
2
−
B
+
C
(
p
)
p
p
2
−
B
.
Переходя к оригиналам, используя теорему о свертке, определяем
u
(
t
) =
A
√
B
sh
√
Bt
+
t
Z
0
c
(
t
−
τ
) ch
√
Bτ dτ.
Поскольку
c
(
t
)
≤
0
, то
t
Z
0
c
(
t
−
τ
) ch
√
Bτ dτ
≤
0
и
u
(
t
)
≤
A
√
B
sh
√
Bt.
I
Лемма 2.
Функция
t
0
Z
−∞
k
(
t
−
τ
)Φ(
ϕ
(
τ
))
dτ
разложима по системе
функций
k
i
(
t
−
t
0
)
, i
= 1
, . . . , n
−
1
, т.е.
t
0
Z
−∞
k
(
t
−
τ
)Φ(
ϕ
(
τ
))
dτ
=
n
−
1
X
i
=1
k
i
(
t
−
t
0
)
x
0
i
,
где
x
0
i
— функционалы
ϕ
(
t
)
.
Доказательство леммы 2 приведено в работе [8].
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
