˙
ϕ
(
t
) =
−
K
(
p
)Φ(
ϕ
(
t
));
p
=
d/dt
;
(2)
K
(
p
) =
m
X
k
=0
b
k
p
k
n
−
1
X
k
=0
a
k
p
k
−
1
.
Результаты практического применения метода квазигармонической
линеаризации для анализа движений систем рассматриваемого клас-
са свидетельствуют о наличии ограничений, существенно сужающих
область его возможного применения. Так, при стремлении частоты ци-
кла
ω
к нулю точность метода резко падает. Поэтому возникает вопрос
о его теоретическом обосновании.
Для обоснования классического метода гармонической линеариза-
ции применялись различные подходы и эта задача рассматривалась
многими авторами [6–8]. Используем один из этих подходов для обо-
снования процедуры получения решения обобщенным методом ква-
зигармонической линеаризации [8].
Для достижения поставленной цели фазовую систему (1) с явно
выделенной угловой координатой
ϕ
путем невырожденного линейного
преобразования
x
−→
Hx
преобразуем к следующей системе:
˙
ϕ
=
x
1
−
a
Φ(
ϕ
);
˙
x
=
Ax
+
r
Φ(
ϕ
)
.
(3)
Далее примем, что в пространстве
R
n
−
1
все векторы заданы своими
координатами в стандартном ортонормированном базисе
e
i
n
−
1
i
=1
,
где
e
i
— вектор, все компоненты которого равны нулю, кроме
i
-й, равной
единице.
Пусть в (3)
a
= 0
, тогда
x
1
= ˙
ϕ
. Представив второе уравнение
системы в интегральной форме
x
=
x
1
...
x
n
−
1
=
e
A
(
t
−
t
0
)
x
0
+
t
Z
t
0
(
e
A
(
t
−
τ
)
r
)Φ(
ϕ
(
τ
))
dτ, t
≥
t
0
и умножив правую и левую его части скалярно на
e
1
, выразим
x
1
= ˙
ϕ
(
t
)
:
x
1
(
t
) = (
e
A
т
(
t
−
t
0
)
e
1
, x
0
) +
t
Z
t
0
(
e
A
т
(
t
−
τ
)
e
1
, r
)Φ(
ϕ
(
τ
))
dτ.
(4)
Введем функции
k
(
t
) = 1(
t
)(
e
A
т
t
e
1
, r
);
k
i
(
t
) = 1(
t
)(
e
A
т
t
e
1
, e
i
);
1(
t
) =
(
1
t
≥
0;
0
t <
0
.
(5)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
5
