Учитывая, что функция
Φ(
x
)
удовлетворяет условию Липшица
|
Φ(
x
)
| ≤
1
, а также используя лемму 3, запишем неравенство
|
˙
ϕ
(
t
)
−
˙
z
(
t
)
| ≤
ε
0
∞
Z
−∞
|
ψ
(
t
−
τ
)
|
dτ
+
+
L
t
Z
t
0
|
k
(
t
−
τ
)
||
ϕ
(
τ
)
−
z
(
τ
)
|
dτ
≤
≤
ε
max
{
sup
ω
|
ρ
00
4
|
,
sup
ω
|
ρ
0
4
|
,
1
}
R
+
L
t
Z
t
0
|
k
(
t
−
τ
)
||
ϕ
(
τ
)
−
z
(
τ
)
|
dτ,
(24)
где
ε
= max
{
ε
0
, ε
1
, ε
2
}
;
R
=
∞
Z
−∞
[
|
K
|
+ 2
|
K
0
|
+
|
K
00
|
]
dω.
(25)
Согласно леммам 1 и 4, неравенство (24) может быть представлено в
виде
|
ϕ
(
t
)
−
z
(
t
)
| ≤
ε
max
{
sup
ω
|
ρ
00
4
|
,
sup
ω
|
ρ
0
4
|
,
1
}
RS
sh
St,
где
S
=
vuuut
L
∞
Z
−∞
|
K
(
iω
)
|
dω
−
1
,
(26)
откуда следует, что
|
ϕ
(
t
)
−
z
(
t
)
| ≤
ε
1
/
2
max
{
sup
ω
|
ρ
00
4
|
,
sup
ω
|
ρ
0
4
|
,
1
}
RS,
t
2
[
t
0
, t
0
+
S
arsh
(1
/ε
1
/
2
)]
.
(27)
Таким образом, для каждого периодического решения
z
(
t
)
уравнения
(19) существует такое решение
ϕ
(
t
)
исходного уравнения (20), опре-
деляемое начальными условиями и в соответствии с леммой 2, что
имеют место оценки (27), (26).
Периодические решения уравнения (8) тождественно совпадают с
периодическими решениями уравнения (19), тогда
|
ϕ
(
t
)
−
y
(
t
)
| ≤
ε
1
/
2
max
{
sup
ω
|
ρ
00
4
|
,
sup
ω
|
ρ
0
4
|
,
1
}
RS,
t
2
[
t
0
, t
0
+
S
arsh
(1
/ε
1
/
2
)]
.
(28)
Учитывая, что
y
(
t
)
при
ω
cp
= (
N
+
β
)
ω, β
2
[0
,
1)
совпадает с
функцией
ωt
+
N
X
k
=1
A
k
sin(
kωt
+
γ
k
)
,
найденной обобщенным методом
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
