Перейдем от потока частиц к массовому потоку
q
m
(
t
)
, который
численно равен массе частиц, испаряющихся (конденсирующихся) с
единицы площади жидкости за единицу времени. Выражения для мас-
сового потока
q
m
(
t
)
получаются из соотношений (4) и (5) путем их
умножения на массу частицы
m
, т.е.
q
m
(
t
) =
−
mα
(˜
n
(
t
)
−
n
0
);
(6)
q
m
(
t
) =
−
mD
∂n
∂x
x
=0
.
(7)
Дополнив выражение (6) случайной составляющей
ξ
(
t
)
, которую
будем считать белым шумом с интенсивностью
σ
, имеем
q
m
(
t
) =
−
mα
(˜
n
(
t
)
−
n
0
) +
ξ
(
t
)
.
(8)
Приравнивая выражения (7) и (8), получаем
−
mD
∂n
∂x
x
=0
=
−
mα
(˜
n
(
t
)
−
n
0
) +
ξ
(
t
)
.
(9)
Для нахождения производной
∂n
∂x
воспользуемся решением задачи
(1)–(3). Ввиду линейности уравнения диффузии оно представляет со-
бой сумму двух слагаемых, одно из которых обусловлено начальной
концентрацией частиц, а другое — концентрацией частиц на поверх-
ности, описываемой произвольной функцией.
Так как в нижнем полупространстве находится жидкость, то меж-
ду потоком, связанным с наличием начальной концентрации, и пото-
ком испаряющейся жидкости почти сразу устанавливается динамиче-
ское равновесие и необходимо оставить лишь слагаемое, связанное с
произвольной концентрацией частиц у поверхности жидкости [4] (т.е.
условием (3) пренебрегаем), тогда
n
(
x, t
) =
1
2
√
πD
t
Z
0
x
(
t
−
τ
)
3
/
2
exp
−
x
2
4
D
(
t
−
τ
)
˜
n
(
τ
)
dτ .
(10)
Найдем производную выражения (10) по координате
x
. Получим
∂n
(
x, t
)
∂x
=
1
2
√
πD
t
Z
0
1
(
t
−
τ
)
3
/
2
−
2
x
2
4
D
(
t
−
τ
)
5
/
2
×
×
exp
−
x
2
4
D
(
t
−
τ
)
˜
n
(
τ
)
dτ.
(11)
Вычисление интеграла по частям в формуле (11) приводит к соот-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 1
5
