Структура ряда для решения системы уравнений в частных производных 1-го порядка - page 18

kαk = N + 1, но и меняются значения коэффициентов ~γ α , kαk = 0, N .
Это означает, что последовательное рекуррентно точное [14] нахожде-
ние коэффициентов ряда становится невозможным, поскольку уравне-
ния для их определения являются взаимозависимыми.
Допустим, что, начиная с мультииндекса α определенной длины,
все векторы ~γ α нулевые. Тогда верно следующее утверждение.
Утверждение 1. Пусть для коэффициентов ряда (43), задающе-
го решение системы дифференциальных уравнений в частных произ-
водных 1-го порядка с квадратичной нелинейностью (1), выполнено
условие
~γα = 0 , 8α kαk ≥ N. (52)
Тогда в системе алгебраических уравнений 2-го порядка относительно
коэффициентов этого ряда, получаемой при подстановке (43) в (1),
число уравнений равно числу неизвестных.
Действительно, для каждого искомого коэффициента ~γ α с фикси-
рованным мультииндексом α , 0 ≤ kα k ≤ N − 1, существует уравнение,
которое содержит этот коэффициент в правой части в следующей фор-
ме: во-первых, линейно — как результат умножения на матрицу C 1 ;
во-вторых, в виде произведений ~γ 0
т ∙ ~γ α и ~γ α
т ∙ ~γ0 — как результат
построения квадратичной формы ~BтC 2 ~B. Все другие искомые коэф-
фициенты в правой части этого уравнения отвечают мультииндексам
меньшей длины, а все искомые коэффициенты в левой части — муль-
тииндексам большей длины. В предположении ~γα = 0 при kαk ≥ N
в уравнениях вида (49) и левая, и правая часть обращаются в нуль.
В уравнениях вида (48) правая часть обладает описанным свойством
относительно ~γ α , kα k = N − 1. При этом, поскольку левая часть та-
ких уравнений обращается в нуль, число искомых коэффициентов не
увеличивается. Следовательно, в системе уравнений (45)–(48), выде-
ленной из бесконечной системы (45)–(50) при помощи условия (52),
число уравнений равно числу неизвестных ~γα , kαk = N − 1.
Допустим, что при ограничении (52) на коэффициенты разложения
ряда (43) алгебраическая система 2-го порядка решена тем или иным
методом. Тогда известны коэфффициенты разложения ~γ α , kαk < N .
Построенная частичная сумма ряда (43) может быть рассмотрена как
представление частного решения системы (1).
В качестве одного из способов разрешения нелинейности в систе-
ме уравнений (1) и связанной с ней алгебраической системе 2-го по-
рядка (45)–(48) предлагаем использовать постановку нелинейных кра-
евых условий. Такой подход реализован в работах авторов [8–11] на
модели уравнений пограничного слоя [12, 13]. Для полученной систе-
мы уравнений в частных производных 1-го порядка с квадратичной
20 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4