нового взаимодействия. Для случая
α
1
=
α
2
= 1
утверждение индук-
ции принимает вид
∂
∂X
1
W
(
X
1
, X
2
) = 2
X
2
.
Выполним шаг индукции от
(
α
1
+
α
2
)
к
(
α
1
+
α
2
+1)
, воспользовавшись
свойством (17) для вынесения (внесения) аргументов за (под) знак
W
-скобки:
∂
∂X
1
W
(
X
α
1
+1
1
, X
α
2
2
) =
=
∂
∂X
1
X
1
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
) +
X
2
W
(
X
α
1
+1
1
, X
α
2
−
1
2
) =
=
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
) +
X
1
∂
∂X
1
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
) +
X
2
∂
∂X
1
W
(
X
α
1
+1
1
, X
α
2
−
1
2
) =
=
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
)+(
α
1
+
α
2
)
X
1
W
(
X
α
1
−
1
1
, X
α
2
2
)+
X
2
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
−
1
2
) =
=
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
)+(
α
1
+
α
2
)
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
) = (
α
1
+
α
2
+1)
W
(
X
α
1
1
, X
α
2
2
)
.
Полученное соотношение доказывает правило дифференцирова-
ния (23) для двумерного мультииндекса
α
.
Cледствие 1.
Поскольку общий член ряда (8) представляет собой
результат действия
W
-скобки, заданной произвольным мультииндек-
сом
α
произвольной фиксированной размерности
(
s
−
1)
, и удовлетво-
ряет матричному уравнению (9), это уравнение можно рассматривать
как правило дифференцирования по
t
оператора
W
-скобка, который
задан мультииндексом
α
размерности
(
s
−
1)
:
∂
∂t
W
(
X
α
1
1
, . . . , X
α
k
k
, . . . , X
α
s
−
1
s
−
1
) =
=
k
α
k
s
−
1
X
k
=1
A
k
W
(
X
α
1
1
, . . . , X
α
k
−
1
k
, . . . , X
α
s
−
1
s
−
1
)
,
k
α
k
=
s
−
1
X
k
=1
α
k
.
(39)
Правая часть формулы (39) получена в результате применения в пра-
вой части уравнения (9) формулы (23), которая задает правило диффе-
ренцирования
W
-скобки по пространственному переменному. Исполь-
зованная при доказательстве теоремы формула (22) является частным
случаем (39) для
α
k
= 1
,
k
= 1
, s
−
1
.
Cледствие 2.
Пусть
1
≤
p < q
≤
(
s
−
1)
. Рассмотрим системы
дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка
I
∂ ~F
∂t
=
p
X
k
=1
A
k
∂ ~F
∂x
k
(40)
16
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
