и
I
∂ ~G
∂t
=
q
X
k
=1
A
k
∂ ~G
∂x
k
.
(41)
Тогда каждый член ряда (8), построенного для системы (40), и любая
частичная сумма этого ряда представляют собой и соответствующие
элементы ряда (8), построенного для системы (41), являясь при этом
решениями обеих систем.
Cледствие 3.
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что
ряд (8) с коэффициентами
~γ
α
есть решение поставленной задачи Коши,
если
~γ
α
=
1
k
α
k
!
∂
α
1
+
α
2
+
∙∙∙
+
α
s
−
1
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
. . . ∂x
s
−
1
s
−
1
~ϕ
(
x
)
x
=
x
0
.
(42)
Следовательно, ряд (8) c коэффициентами (42) является сходящимся в
некоторой достаточно малой области
G,
содержащей точку
x
0
,
и пред-
ставляет собой иную форму записи ряда, фигурирующего в теореме
Коши–Ковалевской.
Общий случай.
Пусть система дифференциальных уравнений в
частных производных 1-го порядка (1) с произвольными коэффици-
ентами получена в результате рассмотрения некоторой линейной или
нелинейной модели математической физики. К таким моделям можно
отнести, например, систему уравнений Максвелла, системы уравнений
газовой динамики и гидродинамики.
Некоторыми исследователями ряды различной структуры предла-
гаются в качестве асимптотического метода аналитического исследо-
вания не только линейных, но и нелинейных задач. В качестве примера
приведем серию работ А.Ф. Сидорова (Институт математики и меха-
ники УО РАН) [14, 15]. Вместе с тем общие методы построения рядов
сразу для широкого класса нелинейных уравнений и связанных с ними
краевых задач отсутствуют.
Укажем на две взаимосвязанные проблемы, относящиеся к пред-
ставлению решения нелинейного уравнения в виде ряда. Это, во-
первых, определение принципа выделения из бесконечной системы
уравнений конечной подсистемы, которая в достаточной степени опи-
сывает нелинейные эффекты, и, во-вторых, отыскание способа разре-
шения нелинейности, содержащейся в полученной конечной системе.
Для нахождения искомых коэффициентов разложения, которые мо-
гут быть числовыми или функциональными в зависимости от исполь-
зуемой структуры ряда, получают соответственно систему нелиней-
ных алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. Чтобы получить часть уравнений рекуррентной цепочки линей-
ными либо иметь возможность разрешить нелинейность в отдельных
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
17
