в виде соотношения
1
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
= 1) =
2
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
= 0)
,
(45)
где полиномы 1-й и 2-й степени обозначены соответственно симво-
лами
1
R
и
2
R
. В круглых скобках указана длина мультииндекса
векторных коэффициентов
~γ
α
, относительно которых эти полиномы
записаны.
Используя введенные обозначения, выпишем соотношения, выра-
жающие связь между длинами мультииндексов искомых
~γ
α
в линейной
левой части уравнений алгебраической системы и нелинейной правой:
1
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
= 2) =
2
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
= 0
,
1);
(46)
1
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
= 3) =
2
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
= 0
,
2);
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
1
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
=
N
−
1) =
2
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
= 0
, N
−
2);
(47)
1
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
=
N
) =
2
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
= 0
, N
−
1);
(48)
1
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
=
N
+ 1) =
2
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
= 0
, N
);
(49)
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
(50)
В линейной части каждого уравнения системы все коэффициенты от-
вечают мультииндексам одной длины
l
, где
l
≥
1
. В нелинейной пра-
вой части содержится коэффициент с мультииндексом длины
(
l
−
1)
и
произведения коэффициентов, сумма индексов которых не превыша-
ет
(
l
−
1)
.
Отметим, что если в виде ряда (43) представить решение систе-
мы (2), то алгебраическая система для определения коэффициентов
разложения имеет вид
1
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
=
l
+ 1) =
1
R
(
~γ
α
, α
:
k
α
k
=
l
)
, l
= 0
,
1
, . . . ,
∞
.
(51)
Таким образом, если для линейного случая первый коэффициент раз-
ложения
~γ
α
,
k
α
k
= 0
, содержится в качестве неизвестного только
в первом уравнении бесконечной линейной алгебраической систе-
мы (51), то в нелинейном случае — во всех уравнениях бесконечной
алгебраической системы
2
-го порядка (45)–(50).
В результате представления решения системы дифференциальных
уравнений в частных производных
1
-го порядка с квадратичной не-
линейностью (1) в виде ряда (43) с неопределенными числовыми ко-
эффициентами получена бесконечная алгебраическая система
2
-го по-
рядка (45)–(50) для нахождения векторных коэффициентов
~γ
α
. В от-
личие от линейного случая при увеличении числа рассматриваемых
уравнений от
N
до
(
N
+ 1)
появляются не только коэффициенты
~γ
α
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
19
