ее уравнениях, обычно накладывают ограничения на первые коэффи-
циенты разложения решения и (или) краевых условий.
Представление в виде ряда c числовыми коэффициентами решения
нелинейной системы (1) и являющейся ее частным случаем линейной
системы (2) приводит к системам алгебраических уравнений соответ-
ственно 2-го и 1-го порядка. Поскольку система (2) получена из (1)
при условии равенства нулю всех элементов кубической матрицы
C
2
,
то отличие системы уравнений 2-го порядка от системы 1-го порядка
определяется отличием матрицы
C
2
от нулевой. Отметим при этом,
что заполненность кубической матрицы ненулевыми элементами ха-
рактеризуется наличием в исходных нелинейных уравнениях модели
произведений неизвестных функций и их производных, а также по-
рядком этих произведений.
В работе [6] предложена структура ряда с неопределенными число-
выми коэффициентами, задающего решение системы уравнений (1):
~B
(
x
) =
∞
X
α,
k
α
k
=0
~γ
α
∙
x
α
, x
α
=
x
α
1
1
x
α
2
2
. . . x
α
s
s
, ~γ
α
т
=
γ
1
α
, . . . , γ
n
α
.
(43)
Суммирование в ряде (43), записанном относительно произведения
s
независимых переменных системы, проводится по мультииндексу
α
размерности
s
(ср. с рядом (8)). Коэффициент
~γ
α
представляет собой
неопределенный числовой вектор, верхний индекс при компонентах
которого указывает на соответствующую компоненту вектора
~B
:
~B
(
x
)
т
= (
B
1
(
x
)
, . . . , B
n
(
x
)) =
∞
X
α,
k
α
k
=0
γ
1
α
∙
x
α
, . . . ,
∞
X
α,
k
α
k
=0
γ
n
α
∙
x
α
.
Подставим (43) в систему (1). Приравняв векторные коэффициенты
при подобных членах в левой и правой частях, получим бесконеч-
ную систему алгебраических уравнений 2-го порядка. Укажем на связь
мультииндексов коэффициентов разложения (43), входящих в левые и
правые части алгебраических уравнений.
Рассмотрим уравнение
s
X
k
=1
A
k
∂
∂x
k
X
k
α
k
=1
~γ
α
∙
x
α
1
1
x
α
2
2
. . . x
α
s
s
=
~C
0
+
C
1
~γ
0
+
~γ
т
0
C
2
~γ
0
,
(44)
получающееся в результате сравнения коэффициентов при
x
α
для
k
α
k
= 0
. Левая часть уравнения (44) представляет собой полином
1-й степени относительно
~γ
α
, где
k
α
k
= 1
, правая часть этого уравне-
ния — полином 2-й степени относительно
~γ
0
. Запишем уравнение (44)
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
