невозмущенное движение ц.м. системы описывается уравнением
M~a
0
=
Z
τ
ρ
r
U
(
e
)
0
dτ ,
где
М
— масса всей планеты;
U
(
e
)
0
— силовая функция внешнего
поля массовых сил, отвечающая невозмущенному движению;
τ
—
общий объем областей, занятых ядром, жидкостью и мантией;
ρ
—
плотность соответствующей среды: ядра
ρ
я
, жидкости
ρ
ж
, мантии
ρ
м
;
r
=
3
P
k
=1
~e
k
∂
∂x
k
— оператор Гамильтона;
~e
k
— орты осей
C
0
x
i
. Положе-
ние твердой оболочки и ядра в возмущенном движении относительно
системы координат
C
0
x
1
x
2
x
3
зададим векторами
~w
м
(
t
)
,
~w
я
(
t
)
, проек-
ции которых на оси
C
0
x
i
есть обобщенные координаты, определяю-
щие положение ц.м. оболочки и ядра. Расположение частиц жидкости
в возмущенном движении определим эйлеровыми координатами
x
i
(
t
)
,
i
= 1
,
2
,
3
, а смещение частиц — полем смещений с компонентами
w
i
(
x, t
)
,
i
= 1
,
2
,
3
. Скорости точек системы обозначим
~v
м
(
t
)
,
~v
я
(
t
)
,
~v
(
x, t
)
,
x
= (
x
1
, x
2
, x
3
)
.
Для получения уравнений движения воспользуемся уравнениями
Лагранжа 2-го рода, которые в рассматриваемом случае могут быть
записаны в виде [6]
d
dt
∂T
∂
˙
q
j
−
∂T
∂q
j
=
Q
j
,
q
j
=
w
я
i
, j
= 1
,
2
,
3;
q
j
=
w
м
i
, j
= 4
,
5
,
6;
, i
= 1
,
2
,
3
,
(1)
d
dt
∂
=
∂v
j
−
∂
=
∂x
j
=
∂U
∂x
j
−
1
ρ
ж
∂p
∂x
j
, j
= 1
,
2
,
3
.
(2)
К уравнениям (1), (2) необходимо добавить соотношения, выража-
ющие действия внутренних и внешних связей, наложенных на части-
цы жидкости, т.е. уравнение неразрывности и граничные условия:
r ∙
~v
= 0;
~v
∙
~n
м
=
~v
м
∙
~n
м
на
S
м
(
t
)
,
~v
∙
~n
я
=
~v
я
∙
~n
я
на
S
я
(
t
)
,
(3)
где
~n
м
,
~n
я
— внешние нормали к области занимаемой жидкостью, т.е.
к подвижным поверхностям оболочки
S
м
и ядра
S
я
. В уравнениях (1),
(2)
Т
— кинетическая энергия системы
T
=
1
2
M
м
v
2
0
+
1
2
M
я
v
2
я
+
Z
τ
ρ
ж
=
dτ
;
(4)
M
м
,
М
я
— массы мантии и ядра;
Q
i
— обобщенные силы, которые в
рассматриваемой постановке обусловлены внутренними и внешними
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
43
