ядром и оболочкой. При смещениях частиц гравитирующей среды,
определяемых вектором
~w
(
x, t
)
, полное лагранжево изменение сило-
вой функции выражается формулой [8]
δU
=
U
(
~r
+
~w
(
x, t
)
, t
)
−
U
0
(
x, t
)
,
(13)
где
U
(
~r
+
~w
(
x, t
)
, t
)
,
U
0
(
x, t
)
— значения силовой функции для одного
и того же элемента гравитирующей среды в возмущенном и невозму-
щенном движениях.
Вместе с тем приращение
U
э
=
U
(
x, t
)
−
U
0
(
x, t
)
определяет эйлерову вариацию, наблюдаемую при сравнении значе-
ний
U
в возмущенном и невозмущенном движениях в фиксированной
точке пространства
x
. Лагранжева и эйлерова вариации могут быть
связаны при помощи разложения в ряд Тейлора. Пренебрегая произ-
ведениями
w
j
, получаем
δU
=
U
э
+
~w
∙ r
U
0
.
Смещения твердого ядра на
~w
я
(
t
)
, твердой оболочки на
~w
м
(
t
)
и
источника внешних сил вызовут в точках пространства эйлеровы из-
менения соответствующих силовых функций
U
я
е
,
U
(
i
)
м
е
,
U
(
е
)
э
.
Полное эйлерово изменение силовой функции в точках области,
занимаемой жидкостью, выразится суммой
U
э
(
x, t
) =
U
я
е
+
U
(
i
)
м
е
+
U
(
i
)
ж
+
U
(
е
)
э
,
где
U
(
i
)
ж
— эйлерово изменение силовой функции
U
ж
в точках про-
странства, занимаемых жидкостью. Обозначив лагранжево изменение
силовой функции внутренних гравитационных сил рассматриваемой
системы в точках области, занимаемой жидкостью, через
U
(
i
)
и приняв
во внимание представление (7), получим
U
(
i
)
(
x, t
) =
U
я
е
+
U
(
i
)
м
е
+
U
(
i
)
ж
+
r
Φ
∙ r
U
(
i
)
0
.
(14)
В случае сферических ядра и оболочки определение эйлеровых
возмущений силовых функций можно получить методом суперпози-
ции при известных выражениях для силовых функций в невозмущен-
ном состоянии. Например, потенциал
U
(
i
)
ж
, который равен разности
суммы силовых функций жидкости, заполняющей целиком смещен-
ную оболочку, и смещенного ядра с плотностью, равной плотности
жидкости, и суммы силовых функций жидкости, заполняющей обо-
лочку, и ядра при отсутствии смещения, запишем в виде
U
i
ж
=
ρ
2
πj b
2
−
(
~r
−
~w
м
)
2
3
−
2
3
a
3
|
~r
−
~w
я
| −
b
2
−
(
~r
)
2
3
+
2
3
a
3
|
~r
|
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
