Уравнения возмущенных движений структурно-неоднородных планет - page 11

или
( Mм + M м
пр )
d~vм
dt − Mям
d~vя
dt
= gw (M я − M я )( ~wя − ~wм );
(M я + M я
пр )
d~vя
dt − Mям
d~vм
dt
= gw ( Mя − Mя )( ~wм − ~wя) .
Уравнения свободных движений системы ядро–жидкость–мантия
имеют интеграл энергии
Т + П = const,
где кинетическая энергия
T =
1
2
Mм + M я
1
q3
2 + q 3
2(1 − q 3 )
v2
м +
+
1
2
Mя + Mя
2q3 + 1
2(1 − q 3)
v2
я − −
3
2
Mя
1
1 − q3 ~v м ∙ ~vя , q =
a
b
;
потенциальная энергия
П = γ
M я
a3 ( Mя − Мя ) ( ~wя − ~wм )2 .
Из выражения для потенциальной энергии следует, что равновесие
системы ядро–идеальная жидкость–оболочка неустойчивoе. Равнове-
сие системы является безразличным, так как не нарушается при любом
смещении ядра или оболочки, таком, что wя − wo = 0 .
Сложив левые и правые части уравнений движения, получим ин-
теграл сохранения количества движения рассматриваемой системы
( Mм + Мм ) ~vм + ( Mя − Мя ) ~vя = const.
Умножив первое уравнение системы (33) на ~wм , a второе на ~wя,
получим интеграл момента количества движения
mм( ~vм × ~wм ) + mя(~vя × ~wя ) − Мям (~vм × ~wя + ~vя × ~wм) = const ,
который для одномерного случая может быть записан в виде
Rм ωм (m мRм − М ямRя) + Rяωя (mяRя − М ямRм) = const,
где Rм, Rя — радиусы центров масс оболочки-мантии и ядра; ωм , ω я
— частоты циклических движений центров масс оболочки-мантии и
ядра.
Если в начальный момент скорость центра масс системы равна
нулю, то для любого момента времени закон сохранения количества
движения системы имеет вид
Mм +
4
3
πb3ρж ~wм + M я −
4
3
πa3 ρж ~wя = const.
52 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4