Определение собственной частоты свободных колебаний систе-
мы
. Полагая
w
я
и
w
о
пропорциональными
e
iωt
и принимая во внимание
закон сохранения центра масс системы, получаем собственные часто-
ты:
ω
2
1
= 0;
ω
2
2
= 2
B
(ˉ
ρ
−
1) [1 +
mq
3
+ (ˉ
ρ
−
1)
q
3
] (1
−
q
3
)
[2
mq
3
(1
−
q
3
) + 2 +
q
3
] (ˉ
ρ
−
1) + 3 (1 +
mq
3
)
,
где
m
=
M
м
M
я
=
ρ
м
(
c
3
−
b
3
)
ρ
я
a
3
;
ˉ
ρ
=
ρ
я
ρ
ж
;
B
=
4
3
πγρ
ж
,
с
— радиус внешней
поверхности оболочки.
Выбрав обобщенные координаты
~θ
1
=
~w
я
−
~w
м
,
~θ
2
=
~w
c
, мож-
но показать, что собственным частотам отвечает свободное движение
механической системы, представляющее собой гармоническое коле-
бание, при котором ядро и оболочка сближаются и удаляются друг от
друга, накладываемое на равномерные движения их центров масс.
Парциальные частоты системы
. Парциальными частотами будем
называть частоты колебаний механической системы, получаемые при
наложении дополнительной связи на одну из подсистем.
Пусть оболочка (мантия) будет неподвижна. В этом случае парци-
альная частота колебаний ядра в неподвижной оболочке совпадает с
частотой Буссе–Шлихтера [7, 8]
ω
2
я
= 2
B
(ˉ
ρ
−
1) (1
−
q
3
)
2ˉ
ρ
(1
−
q
3
) + 2
q
3
+ 1
.
Пусть ядро неподвижно, а оболочка может совершать свободные
колебания. Квадрат частоты этих колебаний определяется формулой
ω
2
м
= 2
Bq
3
(ˉ
ρ
−
1) (1
−
q
3
)
2
mq
3
(1
−
q
3
) + 2 +
q
3
.
Полученное значение частоты свободных колебаний системы
ядро–жидкость–оболочка может быть проверенo сравнением с извест-
ными результатами. Для этого в выражении для квадрата собственной
частоты положим
М
м
= 0
, (
m
= 0
). Это соответствует задаче о коле-
баниях твердого ядра и сферического слоя жидкости, окружающего
это ядро. При
m
= 0
из общей формулы для
ω
2
2
имеем
ω
2
2
= 2
B
(ˉ
ρ
−
1) [1 + (ˉ
ρ
−
1)
q
3
] (1
−
q
3
)
(2 +
q
3
) (ˉ
ρ
−
1) + 3
,
что совпадает с выражением для квадрата частоты колебаний систе-
мы ядро–жидкость, если жидкость перемещается как единое целое
без изменения формы свободной поверхности [11, с. 267]. Если рас-
сматривать колебания жидкости относительно неподвижного ядра, то
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
53
