гравитационными силами, а также силами инерции;
ρ
ж
— плотность
жидкости;
=
=
v
2
/
2
— удельная кинетическая энергия жидкости;
p
(
~r, t
)
— множитель Лагранжа, являющийся одновременно гидроди-
намическим давлением;
τ
— область, занимаемая жидкостью;
U
— си-
ловая функция внешних
U
(
e
)
и внутренних
U
(
i
)
гравитационных сил,
действующих на частицы жидкости, представленная в виде
U
=
U
(
i
)
+
U
(
e
)
;
U
(
i
)
=
U
я
+
U
ж
+
U
м
,
(5)
где
U
я
=
U
я
(
~r, t
)
— силовая функция гравитирующего ядра;
U
ж
=
=
U
ж
(
~r, t
)
— силовая функция гравитирующей жидкости;
U
м
=
U
м
(
~r, t
)
— силовая функция оболочки. Функцию
U
(
e
)
(
x, t
)
будем считать задан-
ной, а функции
U
я
,
U
ж
,
U
м
неизвестными, зависящими от движения
ядра, оболочки, частиц жидкости, которые и подлежат определению.
Таким образом, для вывода уравнений необходимо иметь реше-
ния гидродинамической задачи для поля скоростей и гравитационных
задач для силовых функций.
Гидродинамическая задача
. Подстановка выражения для кинети-
ческой энергии в уравнение (2) приводит к уравнениям Эйлера иде-
альной жидкости. Предположив, что движениe жидкости в полости
несущего тела (твердой оболочки) потенциально, представим вектор
скорости частиц жидкости в виде
~v
=
r
F,
где
F
(
x, t
)
— потенциал абсолютных скоростей жидкости, являющийся
в рассматриваемом случае движения тел решением задачи Неймана
для уравнений Лапласа
r ∙ r
F
= 0
,
∂F
∂n
я
=
~v
я
∙
~n
я
на
S
я
,
∂F
∂n
м
=
~v
м
∙
~n
м
на
S
м
.
(6)
Имеющиеся в литературе оценки смещения внутреннего ядра Зем-
ли [5, 6] указывают на малость значений обобщенных координат
w
я
i
(
t
)
,
w
м
i
(
t
)
и позволяют при рассмотрении гидродинамической задачи вос-
пользоваться методами линейной гидродинамики [7] — ввести потен-
циал смещений частиц жидкости
Φ(
х
, t
)
, определяемый соотношением
F
=
∂
Ф
/∂t
, и выразить поле смещений частиц жидкости как
~w
=
r
Φ
.
(7)
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
