v
i
(
η
) =
f
i
(
b
1
(
η
)
, c
1
(
η
)
, . . . , b
m
(
η
)
, c
m
(
η
)
, η
) +
+
m
X
j
=1
g
ij
(
b
1
(
η
)
, c
1
(
η
)
, . . . , b
m
(
η
)
, c
m
(
η
)
, η
)
u
j
.
Эта система имеет единственное решение
u
1
=
u
1
(
η
)
, . . . , u
m
=
u
m
(
η
)
,
так как ее матрица
g
(
b
1
(
η
)
, c
1
(
η
)
, . . . , b
m
(
η
)
, c
m
(
η
)
, η
)
не вырождена при
всех
η
2
[
η
0
, η
]
.
5. Численная процедура.
Предложим численную процедуру ре-
шения терминальной задачи (4), (5) для системы (3). Пусть
τ
— шаг
изменения времени. Для
k
= 0
,
1
,
2
, . . .
введем обозначения
t
k
=
kτ, η
k
=
η
(
t
k
)
,
(
z
i
1
)
k
=
z
i
1
(
t
k
)
,
(
z
i
2
)
k
=
z
i
2
(
t
k
)
, i
= 1
, m.
Заменим последнее уравнение системы (3) разностным уравнением
η
k
+1
−
η
k
τ
=
q
((
z
1
1
)
k
,
(
z
1
2
)
k
, . . . ,
(
z
m
1
)
k
,
(
z
m
2
)
k
, η
k
)
, k
= 0
,
1
,
2
, . . . .
Тогда
η
k
+1
=
η
k
+
τ q
((
z
1
1
)
k
,
(
z
1
2
)
k
, . . . ,
(
z
m
1
)
k
,
(
z
m
2
)
k
, η
k
)
, k
= 0
,
1
,
2
, . . .
(19)
При
k
= 0
правая часть в (19) известна из начальных условий:
(
z
i
1
)
0
=
z
i
10
,
(
z
i
2
)
0
=
z
i
20
,
i
= 1
, m
, поэтому по формуле (19) можем
найти
η
1
.
Пусть далее при некотором произвольном
k
по формуле (19) най-
дено
η
k
+1
. Значения
(
z
i
1
)
k
+1
вычисляются с использованием (8):
(
z
i
1
)
k
+1
=
b
i
(
η
k
+1
)
, i
= 1
, m.
Для нахождения
(
z
i
2
)
k
+1
из равенств (10) получаем систему уравнений
z
i
2
=
b
0
i
(
η
k
+1
)
∙
q
((
z
1
1
)
k
+1
, z
1
2
, . . . ,
(
z
m
1
)
k
+1
, z
m
2
, η
k
+1
)
, i
= 1
, m.
(20)
Применяя, например, одношаговые итерационные методы решения не-
линейных систем, решаем систему (20) и находим
(
z
i
2
)
k
+1
,
i
= 1
, m
.
В качестве начального приближения при решении системы (20) можно
взять значения
(
z
i
2
)
k
,
i
= 1
, m
, известные с предыдущей итерации.
Вычисления по описанной схеме продолжаются до
k
=
N
(номер
N
определяется из условия
|
η
N
−
η
|
< δ
, где
δ
— заданная точность).
Результатом работы алгоритма будут массивы
{
η
k
}
,
{
(
z
i
1
)
k
}
,
{
(
z
i
2
)
k
}
, i
= 1
, m, k
= 0
, N
значений функций
η
(
t
)
,
z
i
1
(
t
)
,
z
i
2
(
t
)
,
i
= 1
, m
, в моменты времени
t
k
,
k
= 0
, N
, а также момент времени
t
N
, в который система (3) достигнет
конечного состояния (5).
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
